Параметрическими уравнениями линии на плоскости называются уравнения вида: 
| (16) |
где 
- функции переменной t.
Преобразования прямоугольных координат
Координаты (x;y) точки М в прямоугольной декартовой системе координат Оxy (старой) и ее координаты (X;Y) в другой прямоугольной системе О1XY (новой) связаны формулами:
при параллельном переносе 
или 
где (a; b) - координаты нового начала О1 в старой системе координат;
при повороте осей вокруг начала координат на угол 
:
|
Уравнение вида (1) путем выделения полного квадрата и используя далее преобразования прямоугольных координат, о которых говорилось выше, можно привести к одному из видов (2)-(5).
Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнениями второй степени относительно текущих координат x, y, z.
При соответствующем выборе прямоугольной декартовой системы координат в пространстве уравнение поверхности второго порядка можно привести к одному из видов:
| эллипсоид | (17) | |||||
| однополостный гиперболоид | (18) | |||||
| двуполостный гиперболоид | (19) | |||||
| конус | (20) | |||||
| эллиптический параболоид | (21) | |||||
| гиперболический параболоид | (22) | |||||
| эллиптический цилиндр | (23) | |||||
| гиперболический цилиндр | (24) | |||||
| параболический цилиндр | (25) | |||||
| пара пересекающихся плоскостей | (26) | |||||
| пара параллельных плоскостей | (27) | |||||
| пара совпадающих плоскостей | (28) | |||||
| мнимый конус | (29) | |||||
| пара мнимых пересекающихся плоскостей | (30) | |||||
| мнимый эллипсоид | (31) | |||||
| мнимый эллиптический цилиндр | (32) | |||||
| пара мнимых параллельных плоскостей | (33) | |||||
| 
| ||||||
| Рисунок 8 – Эллипсоид | Рисунок 9 – Однополостный гиперболоид | ||||||
| 
| ||||||
| Рисунок 10 – Двуполостный гиперболоид | Рисунок 11 – Конус | ||||||
| 
| ||||||
| Рисунок 12 – Эллиптический параболоид | Рисунок 13 – Гиперболический параболоид | ||||||
| 
| ||||||
| Рисунок 14 – Эллиптический цилиндр | Рисунок 15 – Гиперболический цилиндр | ||||||
| 
| ||||||
| Рисунок 16 – Параболический цилиндр | Рисунок 17 - Пара пересекающихся плоскостей | ||||||
| 
.
| ||||||
| Рисунок 18 – Пара параллельных плоскостей | Рисунок 19 – Пара совпадающих плоскостей | ||||||
ОБРАЗЦЫВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Пример 1
Записать каноническое уравнение и определить вид кривой, заданной уравнением:
 .
|
Определить основные параметры кривой. Изобразить кривую на плоскости.
Решение:
Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полный квадрат:
,
16 (x-2)2-9 (y+3)2=144.
Разделим обе части уравнения на 144:
-это каноническое уравнение гиперболы со смещенным центром. Координаты центра О1(2;-3).
Осуществим параллельный перенос системы координат Оxy: 
тогда в новой системе координат О1XY уравнение гиперболы будет иметь вид:
.
Действительная ось этой гиперболы - ось О1X, мнимая ось - ось О1Y, фокусы лежат на оси О1X.
Определим параметры гиперболы:
а) полуоси гиперболы 
;
б) межфокальное расстояние 
;
в) координаты фокусов в новой системе координат O1XY: F1 =(5;0), F2 =(-5;0),
в старой системе координат Oxy: F1=(7;-3), F2=(-3;-3);
г) эксцентриситет 
;
д) уравнение асимптот в новой системе координат: 
,
в старой системе координат: 
,
;
е) уравнение директрис в новой системе координат: 
,
в старой системе координат: 
,
и 
;
ж) строим график
Литература: [5], стр. 44-59; [8], стр. 52-81; [9], стр. 82-89.
Пример 2
Записать каноническое уравнение поверхности. Определить ее вид. Построить тело, ограниченное указанными поверхностями:
| а) |  , z=-6, z=6;
| |
| б) |  , x=8, x=-8.
|
Решение:
а)
 ;
|
 .
|
Разделим обе части уравнения на 144
. (1)
Это уравнение однополостного гиперболоида с полуосями a =4, b =2, c =6.
Однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей, начала координат, т.к. если в уравнении (1) заменить х на (-х), y на (-y), z на (-z), то уравнение не изменится.
Найдем сечения гиперболоида координатными плоскостями (главные сечения):
1) плоскостью Оxy: 
- сечение плоскостью Оxy есть эллипс с полуосями a=4,b=2 и центром в О(0;0;0)
2) плоскостью Oxz: 
- сечение плоскостью Oxz есть гипербола с действительной осью Оx и мнимой осью Оz, полуоси a=4,c=6.
3) плоскостью Оyz: 
- сечение плоскостью Оyz есть гипербола с действительной осью Оy и мнимой осью Оz, полуоси b=2, c=6.
Найдем сечения гиперболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям:
1) плоскостью, параллельной плоскости Оxy: 
- сечение есть эллипс с полуосями 
и 
.
При уменьшении h полуоси эллипса уменьшаются, при увеличении h - увеличиваются.
В частности при 
получаем сечение плоскостями параллельными оси Оxy:
- эллипс с полуосями 
и 
.
2) плоскостью, параллельной плоскости Оxz: 
- очевидно, что при 
<2 сечение есть гипербола с действительной осью Оx, а при 
> 2 сечение будет гиперболой с действительной осью Оz, при 
сечение представляет собой пару прямых, пересекающихся в точке (0;2;0) или (0;-2;0);
3) аналогично пункту 2).