Плоская произвольная система сил - система сил, как угодно расположенных, в одной плоскости.
Для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор 
этой системы сил и ее главный момент 
относительно любого центра О были равны нулю, то есть чтобы выполнялись условия
, 
(1)
ДЛЯ УТОЧНЕНИЯ:
I условие равновесия (это частный случай II закона Ньютона): F1->+ F2->+ … + Fn->= 0
Читается это условие равновесия так: векторная сумма всех сил, действующих на тело, а также сумма проекций этих сил на любые оси равна нулю.
IIусловие равновесия даёт возможность описывать состояние покоя тел, которые имеют неподвижную ось вращения. Это условие называется «правило моментов».
IIусловие равновесия записывается следующим образом М1 + М2 + … + Мn = 0 и формулируется так: Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно этой оси равна нулю.
Из (1) вытекают три аналитических условия (уравнения) равновесия плоской произвольной системы сил, которые можно записать в трех различных формах.
Первая (основная) форма условий равновесия:
для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей 
и 
и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки О, лежащей в плоскости действия сил, были равны нулю, то есть
,
, (2)
.
Вторая форма условий равновесия:
,
, (3)
.
Прямая АВ не должна быть перпендикулярна оси .
Третья форма условий равновесия: Теорема о трех моментах – алгебраическая сумма моментов сил относительно трех произвольных точек A,B,C, не лежащих на одной прямой, равна нулю,
:
,
, (4)
.
Точки А, В, С не должны лежать на одной прямой.
Пример решения задачи на условия равновесия:
Задача 1. К концам рычага приложены силы 8Н и 18Н. Длина рычага 13см, пренебрегая весом рычага, найти плечи сил.
| 8Н |
| 18Н |
Решение: 1.Обозначим ℓ1 плечо меньшей силы, тогда ℓ2 =13 - ℓ1
2. Запишем условие равновесия рычага:
F1 ℓ1 = F2 ℓ2;
заменим ℓ2, запишем теперь условие равновесия: F1 ℓ1 = F2(13 - ℓ1); ℓ1 /(13 - ℓ1) = F2/ F1; после преобразований получим:
8 ℓ1 = 18 (13 - ℓ1); ℓ1 =9см; ℓ2 = 4см.
Задача 2.
Рекламный щит массой m висит на двух одинаковых нерастяжимых тросах, образующих угол 600с вертикалью. Рассчитать силу натяжения каждого троса.
Решение.
На чертеже обозначим все силы, действующие на щит:
Со стороны Земли – сила тяжести = mg,
Со стороны тросов силы натяжения Т1 и Т2. Так как тросы одинаковы, то Т1 = Т2. Справа на чертеже вынесем все эти силы.
Запишем II закона Ньютона для этого случая: mg-> + T1-> + T2-> = ma-> (a = 0)
Запишем теперь II закона Ньютона в проекции на ось ОУ с учётом знаков проекций:
-mg + 2 T1cos 600 = 0
2 T1cos 600 = mg
T1 = mg/2 cos 600 = mg
Ответ: T1 = T2 = mg
Задача 3.
Металлическая балка лежит горизонтально на двух опорах, расположенных на расстояниях 1 м и 1,5 м от концов балки соответственно. Рассчитать во сколько раз различаются нагрузки, приходящиеся на опоры, если длина балки 4,5 м?
Решение.
Отметим на чертеже все силы, действующие на тело. На тело со стороны Земли действует сила тяжести mg->, со стороны первой опоры (зелёной) – сила реакции опоры N1, со стороны второй (синей) опоры – сила реакции опоры N2.
В этой задаче важно понимать, что согласно III закону Ньютона, сила с которой балка давит на опору и сила реакции опоры одинаковой природы, равны по модулю, но противоположны по направлению /Ni/ = / Fi./ (*)
Запишем правило моментов для этой задачи, считая, что ось вращения проходит через центр тяжести, сила N1 «может вращать тело» по часовой стрелке, а сила N2 – против часовой стрелки, а также учитывая, что:
L1 = 0,5с – а
L2 = 0,5с – в
Lmg = 0
МN1 – МN2 + Мmg = 0
N1L1 – N2L2 = 0
N1(0,5с – а) = N2(0,5с – в)
N1 (0,5 · 4,5 – 1) = N2 (0,5 · 4,5 – 1,5)
N1 (0,5 · 4,5 – 1) = N2 (0,5 · 4,5 – 1,5)
1,25 N1 = 0,75 N2
N1 / N2 = 0,75/1,25
N1 / N2 = 0,6
И, вспомнив о выражении (*), пишем ответ
Ответ: F1 / F2 = 0,6
Задача 4.
К концам горизонтального стержня длиной 1,0 м и массой 5 кг подвешены два груза: слева – массой 0,5 кг, справа – массой 2 кг. На каком расстоянии от более тяжелого груза надо подвесить эту конструкцию, чтобы стержень оставался в равновесии?
Решение.
Предположим, что точка подвеса – точка О (ось вращения) будет ближе к более тяжёлому грузу. Расстояние от тяжёлого груза до точки О обозначим за Х
Запишем правило моментов с учётом знаков (момент силы реакции подвеса = 0, так как эта сила проходит через ось и её плечо = 0):
-М1 – Мmg + М2 = 0
-m1g(L-X) – mg(0,5L-X) + m2gX = 0
-m1gL + m1gX – mg0,5L + mg X + m2gX = 0 можно все слагаемые сократить на g
m1X + mX + m2X = m1L + m0,5L
(m1 + m + m2) X = (m1 + 0,5 m)L
X = (m1 + 0,5 m) L / (m1 + m + m2)
X = (0,5 + 0,5 * 5) * 1 / (0,5 + 5 + 2)
X = 3/7,5
X = 0,4 (м)
Ответ: точка подвеса должна находиться на расстоянии X = 0,4 м от более тяжёлого груза.