Печатается по решению Редакционно-издательского совета КубГТУ

ГОУ ВПО Кубанский государственный технологический университет

(КубГТУ)

 

Кафедра автоматизации производственных процессов

Факультет Компьютерных технологий и автоматизированных

ванных систем

 

 

Пугачев В.И.

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

 

Конспект лекций по разделам дисциплины «Цифровые и стохастические системы управления»

Для студентов заочной и МИПС форм обучения специальности 220201 – Управление и информатика в технических системах

Краснодар,

Издательство КубГТУ,

 

Конспект лекций / В.И. Пугачев. Кубан. гос. Техн.Ун-т. Краснодар, 2005. - 100с.

УДК 62-50.007.07

 

Теория автоматического управления

(раздел «Цифровые и стохастические системы управления»)

 

Приведены сведения об основных методах, используемых при решении задач цифрового управления и стохастической динамики систем

 

Ил. 24 Библиогр.: 5 назв.

 

 

Печатается по решению Редакционно-издательского совета КубГТУ

 

 

Рецензенты:

канд.техн.наук, заместитель директора по науке, зав. лабораторией

автоматизации Кубанского филиала

“ ВНИЗ” Ю.Ф. Марков,

 

канд.техн.наук, профессор КубГТУ

З.Г. Насибов

 

Кубанский государственный технологический университет, 2005 г.

 

	Содержание
	Цифровые системы управления
1.1	Способ управления с помощью ЭВМ.
1.2	Решетчатые функции и разностные уравнения
1.3	Условие устойчивости линейных цифровых систем, писанных разностными уравнениями
1.4	Дискретное преобразование Лапласа
1.5	Определение периода квантования при дискретном измерении без потери информации непрерывного сигнала
1.6	Основные свойства -преобразования
1.7	Дискретная передаточная функция.
1.8	Получение оригинала из уравнений в конечных разностях и с помощью -преобразования
1.9	Цифровые аналоги типовых законов управления
1.10	Анализ цифровых систем управления
1.11	Анализ устойчивости цифровых систем
1.12	Аналитический синтез алгоритма управления цифрового вычислительного устройства
1.13	Алгоритм цифрового управления по критерию быстродействия
1.14	Особенности реализации цифровых законов управления в системах с сервомотором постоянной скорости
	Статистическая динамика
2.1	Основные задачи статистической динамики
2.2	Характеристики случайных процессов
2.3	Стационарные случайные процессы
2.4	Основные свойства корреляционной функции и спектральной плотности стационарных случайных процессов
2.5	Прохождение случайных воздействий через линейную САУ
2.6	Анализ систем регулирования при стационарных случайных воздействиях
2.7	Синтез САУ при заданной структуре
2.8	Фильтр Винера - Колмогорова
	Литература
	Приложение

 

1 ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫУПРАВЛЕНИЯ

 

Преимущества цифровых регуляторов в сравнении с непрерывными заключаются в том, что один цифровой регулятор может заменить несколько аналоговых а так же реализовать дополнительные функции проверки номинальных режимов, подстройку параметров регулятора по разомкнутому циклу, обмен информацией с дру­гими регуляторами, взаимное резервирование, диагностика, выбор управляющих алгоритмов, реализацию адаптивных законов управле­ния.

В отличие от непрерывных регуляторов законы регулирования здесь реализуются в форме алгоритмов, запрограммированных с помощью аппаратных или программных средств, обрабатываются диск­ретные по времени сигналы, причем сами сигналы квантованы по амплитуде в аналого-цифровых и цифро-аналоговых (АЦП и ЦАП) пре­образователях и в центральном процессоре.

Благодаря гибкости средств программного обеспечения выбор законов управления не ограничивается только стандартными звенья­ми П, И или - типов. Кроме того, цифровые системы обладают повышенной чувствительностью, большей надежностью, отсутствием дрейфа, повышенной помехоустойчивостью, меньшими габаритами и массой, удобством в программировании.

 

1.1 Способ управления с помощью ЭВМ

Элементная схема цифровой системы управления изображена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - Элементная схема цифровой САУ

 

Здесь:

- дискретные значения на входе и выходе ЭВМ;

- квантователь, совмещенный с аналого-цифровым преобразователем;

- квантователь, совмещенный с цифроаналоговым преобразователем;

ЭВМ - устройство, реализующее алгоритм управления;

Ф.Н.П.- фиксатор нулевого порядка (или экстраполятор -того порядка);

О.У. - объект управления.

Квантование по времени осуществляется квантователем с определенным периодом . Непрерывная регулируемая величина " " преобразуется в дискретную " ", которая поступает в центральный процессор ЭВМ. Здесь она обрабатывается по запрограммированным алгоритмам и формируется управляющее воздействие. Если исполнительное устройство аналоговое, то данные поступают на квантователь с цифро-аналоговым преобразовате­лем, выход которого поступает на фиксатор нулевого порядка. Сигнал с фиксатора поступает на исполнительный механизм, переме­щающий регулирующий орган и, следовательно, изменяющий выходную величину объекта управления " ".

Строго говоря, замыкание ключей на входе и выходе системы происходит не одновременно. Эта задержка равна времени, затра­чиваемому на преобразование аналоговой информации в цифровую и последующую ее обработку в процессоре. Однако, поскольку это время мало в сравнении с постоянными времени сервомотора, объекта, измерителя, то им пренебрегают, полагая, что входные и вы­ходные квантователи действуют синхронно. Кроме того, в АЦП, имеющих не менее 10 двоичных разрядов, эффекты квантования по уровню практически незаметны и в первом приближении можно счи­тать амплитуды дискретных сигналов изменяются непрерывно.

Устройство фиксации управляющего сигнала задерживает его на постоянном уровне до появления следующего. Во временной облас­ти его выходной сигнал можно записать как реакцию на единичное входное импульсное воздействие в виде: K(t)=1(t)-1(t-T). (1.1)

Поскольку преобразование Лапласа мгновенного импульса еди­ничной площади равно единице, то изображение импульсной пере­ходной функции формирующего элемента равно передаточной функ­ции этого элемента. .

Прямое преобразование Лапласа функции (1.1) имеет вид:

. (1.2)

Анализ цифровых систем упрощается, если вместо непрерывного вре­мени ввести относительное .

.

По определению прямое преобразование Лапласа

.

Аналогично можно записать

.

Используя свойство прямого преобразования Лапласа об изменении масштаба, получим:

. (1.3)

Таким образом, для получения передаточной функции в относитель­ном масштабе времени по передаточной функции от непрерывной необходимо аргумент " " заменить на и результат умножить на . При этом умножение производит­ся один раз для всей приведенной непрерывной части системы.

Использование дискретных моментов времени или относительно­го масштаба времени при исследовании цифровых систем управления приводит к необходимости применения решетчатых функций, разност­ных уравнений и связанного с ними дискретного преобразования Лапласа.

 

1.2 Решетчатые функции и разностные уравнения

 

Решетчатой называется функция, которую образуют ординаты непрерывной функции , соответствующие дискретным рав­ноотстоящим друг от друга значениям независимой переменной, рисунок 1.2. Она равна нулю, когда и обозначается ;

- период дискретности; - любое целое число.

Рисунок 1.2 - Вид непрерывной и решетчатой функции

Для выявления поведения непрерывной функции между дискрет­ными моментами вводят промежуточное фиксированное время , которое может изменяться от до .

Такая функция называется смещенной.

Использовав относительное время, решетчатую функцию запишем , или , где может изменяться в пределах от до .

Скорость изменения решетчатой функции характеризуется ее первой разностью:

.

Разность второго порядка, или вторая разность

,

или

.

Разность -того порядка определяется выражением

, (1.4)

где - биномиальные коэффициенты.

При рассмотрении цифровых систем используются разностные уравнения, определяющие соотношения между дискретной функцией и ее разностями различных порядков . Их можно записать так:

,

или

,

где - известная дискретная функция.

При воздействии на линейную часть прямоугольных импульсов, имеющих разрывы, интегрирование возможно проводить для линейных уравнений только в промежутках времени, где разрывы отсут­ствуют. Это связано с тем, что наличие разрывов приводит к из­менению постоянных интегрирования, которые определяются два ра­за за период. Этот метод построения переходного процесса явля­ется слишком громоздким и возможен для конкретных цифровых рас­четов, исключающих анализ и синтез в общем виде.

Применение разностных уравнений позволяет избежать указан­ных недостатков. Рассмотрим методику получения уравнений в ко­нечных разностях.

Разностное уравнение характеризует связь между переменными, разделенными целым числом периодов. Для возможности проведения анализа всей системы необходимо иметь все уравнения динамики в одной форме (например, в виде разностных уравнений). Найдем уравнение объекта в виде разностного уравнения. Для этого ре­шим дифференциальное уравнение объекта

(1.5)

Пусть ,

тогда ; ; .

Постоянную интегрирования найдем из граничных условий в начале и конце периода.

При

(1.6)

В итоге получили разностное уравнение (1.6).

При решении системы разностных уравнений возникает необхо­димость исключения промежуточных переменных. Это удобно выпол­нять оперативным методом. С этой целью каждую переменную представим в виде ,

где - номер наименьшего периода.

.

В итоге получили алгебраическое уравнение.

При физической реализации алгоритмов управления используют­ся левые конечные разности. Познакомимся с ними в процессе по­лучения уравнения в конечных разностях для дифференциального уравнения второго порядка. Наиболее простым способом получения уравнений в конечных разностях по дифференциальным является метод замены производных соответствующими разностями.

В рассматриваемом случае порядок, дифференциальных уравне­ний второй, поэтому используя соотношения:

(1.7)

Дифференциальное уравнение можно записать через конечные раз­ности, например:

Подставив значения , , , получим:

Приведя подобные члены и сделав обозначения:

получаем

(1.8)

Второй метод получения уравнений в конечных разностях при­ближенный. Он тем точнее, чем меньше . Для уравнения (1.5) при использовании второго метода легко получить уравнение в конечных разностях, которое имеет вид

(1.9)

Если сравнить выражение (1.6) и (1.9), то мы увидим, что они отличаются друг от друга, поскольку (1.9) является прибли­женным, а (1.6) - точным. Приближенность (1.9) объясняется тем, что мы фактически используем для решения исходного дифференци­ального уравнения численный метод интегрирования.

Если разложить коэффициенты при и выраже­ния (1.6) в ряд Маклорена и удержать только два первых члена, то

т.е. коэффициенты (1.9) являются первым приближением коэффици­ентов (1.6) при разложении их в ряд Маклорена в окрестности точки .

Второй способ более универсален, поскольку не требует зна­ния правой части дифференциального уравнения и его решения.

 

Решение разностных уравнений

Линейные импульсные системы описываются линейными разност­ными уравнениями с постоянными коэффициентами. Они подчиняются принципу суперпозиции, поэтому их полное решение состоит из сум­мы решений однородного и неоднородного уравнения.

Пусть дано однородное уравнение

где - номер текущего периода (аналог времени );

- порядок разностного уравнения.

Составим характеристическое уравнение, введя оператор

,

Отсюда характеристическое уравнение принимает вид

Решение однородного уравнения находим в виде

(1.10)

где - корни характеристического уравнения.

- постоянные коэффициенты, определяемые по начальным условиям для решения неоднородного уравнения.

Если имеет -тую кратность, то решение запишем в виде

Частное решение неоднородного разностного уравнения находим в форме правой части (аналогично обыкновенным дифференциальным уравнениям).

Если - правая часть, то, когда не совпадает ни с одним корнем, частное решение записывается в виде

если совпадает с одним из корней кратности " " то

 

1.3 Условие устойчивости линейных импульсных систем, описанных разностными уравнениями

Для устойчивой импульсной системы должно выполняться условие

при ,

где

Для того чтобы необходимо, чтобы каждое слагаемое при стремилось к нулю. Это условие будет вы­полнено, если ,

, поэтому

при и .

На комплексной плоскости корни характеристического уравне­ния должны располагаться внутри единичного круга, рисунок 1.7.

Если , то процесс будет монотонным затухающим, если , то процесс будет колебательным.

Если , то система находится на границе устойчивости.

Если , то система неустойчива.

 

Алгебраический критерий устойчивости импульсных

систем

 

С помощью замены переменных (дробно-линейного преобразова­ния можно отобразить поверхность единичного круга в плоскости в левую полуплоскость комплексного пе­ременного .

Такое преобразование называется конформным.

Пусть , тогда покажем, что .

Сделав в характеристическом уравнении замену переменных , получим новое характеристическое уравнение, к ко­торому применимы критерии устойчивости Гурвица и Михайлова. Если эти критерии выполняются, то импульсная система устойчива.

 

Частотный критерий устойчивости импульсных систем,

описываемых разностными уравнениями

 

Пусть дано характеристическое уравнение импульсной системы

Если известны его корни, то характеристическое уравнение можно переписать в виде

В критерии Михайлова осуществлялась замена в характеристи­ческом уравнении , т.е., вектор скользил по границе устойчивости. Поскольку границей устойчи­вости импульсных систем является круг единичного радиуса, то произведем замену

,

где - угол , а не частота.

Приращение аргумента функции

равно

(1.11)

1. - внутри единичного круга, рисунок 1.3.

Рисунок 1.3 - Расположение корней характеристического уравнения

В этом случае

2. - снаружи единичного круга, рисунок 1.3,б. В этом случае

следовательно, CAP устойчива, если годограф последова­тельно проходит против часовой стрелки квадрантов при из­менении .

Если

где - четная функция, то, следовательно, - симметричная относительно дей­ствительной оси комплексной плоскости. Это говорит о том, что достаточно изменять в пределах . Поэтому импульсная система будет устойчива, если годограф начинается на вещественней полуоси и поворачивается против часовой стрел­ки на угол при изменении ,

(1.12)

На рисунке 1.4 показаны годографы для устойчивых систем первого, второго и третьего порядка.

 

1.4 Дискретное преобразование Лапласа

Решетчатая функция получается при модуляции после­довательности мгновенных импульсов единичной площади с периодом повторения сигналом .

Рисунок 1.4 - Виды годографов устойчивых систем

 

Действие амплитудно-импульсного модулятора сводится к пе­ремножению , поэтому

, (1.13)

где , - функция Дирака.

Поэтому

,

так как перемножение происходит только в моменты .

Изображение по Лапласу элементарного -того импульса .

Преобразование последовательности импульсов представим в виде

. (1.14)

Изображение решетчатой функции по Лапласу называется диск­ретным преобразованием Лапласа.

.

Для случая, когда в качестве аргумента берется относитель­ное время , выражение для -преобразования принимает вид

, (1.15)

где

параметр дискретного преобразования Лапласа, - относитель­ная частота .

Метод, предложенный Я.3.Цыпкиным, позволяет как и при ана­лизе непрерывных систем ввести понятия о передаточных и частот­ных функциях, а также о частотных характеристиках импульсных систем.

Для смещенной расчетной функции

. (1.16)

Например,

Предел этого ряда - сумма бесконечной геометрической прогрессии

(1.17)

Оператору " " можно в дискретном преобразовании поставить в соответствие выражение .

Поскольку изображение решетчатой функции зависит от , то функция на комплексной плоскости переменной будет периодической вдоль мнимой оси

(1.18)

Оригинал решетчатой функции может быть найден с помощью обратного преобразователя Лапласа

. (1.19)

-преобразование - можно рассматривать как модифика­цию дискретного преобразования Лапласа, использующего подста­новку .

Формула -преобразования получит вид

. (1.20)

Для обратного преобразования

. (1.21)

Такая модификация приводит к тому, что изображение становится функцией переменной , а область устойчивости характеризуется единичным кругом на комплексной плоскости , и -преобразования являются совершенно эквивалентными.

 

1.5 Определение периода квантования при дискретном измерении без потери информации непрерывного сигнала

Решетчатая функция может быть получена с помощью перемноже­ния модулирующего сигнала и последовательности равноот­стоящих мгновенных импульсов единичной площади :

,

где

. (1.22)

Здесь

для любого , .

Дискретный сигнал запишем так:

, (1.23)

а его спектр можно выразить следующим образом:

.(1.24)

Изображение Фурье -того члена суммы (1.24) можно за­писать в виде

;

или, применив теорему смещения параметра , получим

.

Если то ,

т.е. частотный спектр первого члена суммы есть частотный спектр модулируемого сигнала.

Для , т.е. частотный спектр второго члена суммы остается прежним, но сдвинутым в

частотной области на величину и т.д.

В итоге получим преобразование Фурье амплитудно-модулирован­ной последовательности импульсов в виде суммы частотных спект­ров непрерывной функции, смещенных по оси частот на величину , где .

. (1.25)

Это выражение справедливо, если при .

Если при , то

. (1.26)

Заменив , в уравнении (1.26) получим связь преобра­зований Лапласа для решетчатой функции с преобразованием Лапла­са для непрерывной функции

, (1.27)

где -преобразование и -преобразование связаны между собой

.

Если в качестве аргумента непрерывной функции принято отно­сительное время, то соотношение (1.27) представим в виде

, (1.28)

где .

Из частотного представления решетчатой функции (1.26) выте­кает теорема о дискретном представлении непрерывных функций. Она устанавливает связь между спектром непрерывной функции и частотой повторения импульсов, при которой возможно восстановление непрерывной функции.

В.А.Котельников доказал, что непрерывная функция может быть восстановлена без искажений, если частота повторения импульсов по крайней мере в два раза больше максимальной частоты спектра этой непрерывной функции, рисунок 1.5. .

Рисунок 1.5 - Спектр решетчатой функции

 

1.6 Основные свойства -преобразования

Как говорилось ранее, если в дискретном преобразовании Лап­ласа произвести замену , то получим:

.

Это соотношение дает некоторые преимущества по сравнению с дис­кретным преобразованием (упрощается запись выражений, легче вы­числяется обратное преобразование). При этом -преобразова­ние обладает следующими свойствами.

Линейность.

Если и -преобразования решетчатых функций , то

.

Действительно, . (1.29)

Опережение.

Пусть -преобразование решетчатой функции .

Тогда по определению

.

Умножив и разделив правую часть на , получим:

.

Обозначим , тогда

.

Для получения под знаком суммы полного ряда начиная с , прибавим и вычтем соответствующие слагаемые

. (1.30)

Для нулевых начальных условий

,

поэтому

. (1.31)

Свертка решетчатых функций.

. (1.32)

Изображение разностей.

На основании свойств о линейности и опережении можно запи­сать:

.

Для второй разности:

Продолжая дальнейшие вычисления разностей, можно заметить общую закономерность их получения:

. (1.33)

Для нулевых начальных условий

имеем:

. (1.34)

Дифференцирование изображения.

;

.

Умножив левую и правую часть равенства на , получаем:

. (1.35)

Умножение производной изображения на эквивалентно умножению оригинала на - , Это позволяет легко получать изображения степенных функций.

Например: ;

.

 

Начальное значение оригинала.

.

Умножим левую и правую части равенства на и устремим в бесконечность .

, поскольку -конечные величины и также конечны.

В итоге . (1.36)

Конечное значение оригинала.

Используя изображение конечной разности, запишем:

.

Умножим левую и правую части равенства на

Устремив к единице, найдем:

(1.37)

 

1.7 Дискретная передаточная функция

Если динамическая система описывается дифференциальным уравнением, то его можно представить уравнением в конечных разностях вида:

.

Используя теорему о смещении решетчатой функции в -преобразовании при нулевых начальных условиях получим:

.

Отношение -преобразования выходной величины к -преоб­разованию входной при нулевых начальных условиях называется дискретной передаточной функцией.

Для статических объектов коэффициент усиления можно найти используя теорему о конечном значении оригинала функции.

; (1.38)

. (1.39)

Для физической реализации алгоритмов вычисления значений решетчатой функции необходимо использовать левые разности, которые учитывают предыдущие а не последующие значения решетчатой функции при вычислении разностей.

;

.

В этом случае передаточные функции будут полиномами в отрицательных степенях. Если имеется