Определение степенного ряда. Теорема Абеля
Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.
Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида 
.(1.1)
Здесь 
– постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.
При 
степенной ряд (1.1) принимает вид
. (1.2)
Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности 
, ряд (1.2) – рядом по степеням х.
Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.
Определение 1.2. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.
Ряд (1.1) с помощью подстановки 
приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).
Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.
Теорема 1.1 (Теорема Абеля):
если степенной ряд (1.2) сходится при 
, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству 
; если же ряд (1.2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству 
.
Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.
Теорема 1.2:
область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
,
где R – некоторое неотрицательное действительное число или 
.
Число R называется радиусом сходимости, интервал – интервалом сходимости степенного ряда (1.2).
Если 
, то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось 
.
Если 
, то интервал сходимости вырождается в точку 
.
Замечание: если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то 
– интервал сходимости для степенного ряда (1.1).
Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при 
и 
.
Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:
формула Даламбера:
;(1.3)
формула Коши:
.(1.4)
Если в формуле Коши 
, то полагают , если 
, то полагают .
Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда 
.
Решение
Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле
В нашем случае
, 
.
Тогда 
.
Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид 
.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При 
степенной ряд превращается в числовой ряд
.
который расходится как гармонический ряд.
При 
степенной ряд превращается в числовой ряд
.
Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и 
. Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.
Таким образом, промежуток 
– область сходимости данного степенного ряда.
Свойства степенных рядов
Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию 
, определенную в интервале сходимости , т. е.
.
Приведем несколько свойств функции .
Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке 
, принадлежащем интервалу сходимости .
Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале , и ее производная 
может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.
,
для всех 
.
Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.
для всех .
Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться.
Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).
Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд
.
Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток .
Почленно продифференцируем этот ряд:
.(2.1)
По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал .
Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при и при .
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
.
Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости 
: 
, который не существует.
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
,
который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом .