Тройной интеграл в прямоугольных координатах

Пусть в области V, заданной в пространстве и ограниченной замкнутой поверхностью S, определена непрерывная функция f(x,y,z). Разобьем область V на n частичных областей Δ V_i, в каждой области выберем произвольную точку (x_i,y_i,z_i)и составим интегральную сумму . Предел этих сумм при неограниченном увеличении числа областей разбиения n и при стремлении к нулю диаметра наибольшей области max d_i называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области V:

В декартовых координатах элемент объема dV=dxdydz.

z=j₂(x,y)

Рис. 7.

Пусть пространственная область V проектируется в область D на плоскости Oxy и ограничена снизу поверхностью , сверху — поверхностью , а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. (см. рис. 7). В этом случае тройной интеграл вычисляется по формуле

(7) или

(7΄)

В формулах (18) и (18') возможно изменить порядок интегрирования, проектируя область D в какую-либо другую координатную плоскость.

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Рис. 8.

Декартовы координаты точки M(x,y,z) связаны с цилиндрическими координатами j, r, z соотношениями:

, (8)

где причем

Cвязь между декартовыми и сферическими координатами j, q, r точки имеет вид:

(9)

где причем

Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам осуществляется по формуле:

, (10)

где V¢ - область изменения цилиндрических координат, соответствующая объему V.

Переход в тройном интеграле к сферическим координатам выполняется по формуле:

, (11) где V¢ - область изменения сферических координат, соответствующая объему V.

Приложения тройного интеграла

Объем пространственного тела V находится по формулам:

в прямоугольных координатах: , (12)

в цилиндрических координатах: (13)

и в сферических координатах: . (14)

Масса тела с плотностью , занимающего пространственную область V, находится по формуле

, (15)

в которой при необходимости можно перейти к цилиндрическим или cферическим координатам в соответствии с (10) и (11).

Пример 5. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями: , , z = 0, z + y=0.5. Сделать чертеж тела и его проекции в плоскость Oxy.

Решение: Тело ограничено снизу плоскостью Oxy (z = 0), сверху — плоскостью z + y = 0.5, параллельной оси Oz. Боковая поверхность образована двумя цилиндрическими поверхностями (см. рис. 10).

Объем тела вычисляется по формуле (18):

x=2Ö2y

x=12Ö2y

1/2

z+y=1/2

Рис.9

Ответ: V = 2/3 (ед.³).

Пример 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями , . Сделать чертеж тела и его проекции в плоскость Oxy.

Решение: Тело ограничено снизу поверхностью параболоида с вершиной в начале координат (), сверху – полусферой радиусом 3 (). Проекцией тела в плоскость Оху является круг с центром в начале координат, радиус которого можно найти, исключая z из уравнения параболоида. Получим .

Рис. 10.

Объем тела V удобно вычислить в цилиндрических координатах по формуле (24). В этом случае уравнение полусферы принимает вид , а уравнение параболоида . Тогда

Ответ: V= (ед.³).

Пример 7. Найти объем тела, ограниченного поверхностями , . Сделать чертеж тела и его проекции в плоскость .

Решение:

z=Öx²+y²/3

z₀

R₀

Рис. 11.

Тело ограничено снизу поверхностью конуса , а сверху - поверхностью полусферы . Проекцией тела в плоскость является круг с центром в начале координат. Уравнение ограничивающей его окружности получим после исключения из уравнений конуса и полусферы: , или после простых преобразований: .

Объем тела удобно вычислять, переходя к сферическим координатам. Запишем в сферических координатах (9) уравнение сферы и конуса: и , где - угол при вершине конуса, который найдем из уравнения (см. рис. 11). Мы нашли, что , тогда (из уравнения конуса). Следовательно, и . Уравнение конуса в сферических координатах: .

Тогда объем тела по формуле (14) равен

Ответ: V= (ед.³).

Пример 8. Найти массу тела, ограниченного поверхностями x=0, y=0, z=0, x+y+z=1, если задана его плотность γ (x, y, z)= Сделать чертеж данного тела и его проекции в плоскость Oxy.

Решение: Заданное тело ограничено координатными плоскостями и наклонной плоскостью (см. рис. 12)

Массу тела вычислим по формуле (15):

0,034.

x+y+z=1

x+y=1

Рис.12

Ответ: m 0,034 (ед. массы).

Пример 9. Найти массу тела с плотностью γ (x, y, z)=x²+y², ограниченного поверхностями z= , z=2-x²-y². Сделать чертеж тела и его проекции в плоскость Oxy.

Решение: Заданное тело ограничено поверхностями конуса z= и параболоида z=2-x²-y². Проекцией тела в плоскость Oxy является круг, ограниченный окружностью x²+y²=1 (см. рис. 13).

z=Öx²+y²

Рис. 13

Ограничивающие тело поверхности имеют простые уравнения в цилиндрической системе координат (8): конус z=ρ, параболоид z=2-ρ². Массу тела вычислим по формуле (15); записав функцию плотности в цилиндрических координатах: γ=ρ². Тогда

m= = =