ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение вынужденных колебаний
Рассмотрим реальную колебательную систему – пружинный маятник. Свободные колебания груза описываются уравнением (9.10):
,
где: β = r/ (2 m) – коэффициент затухания,
− собственная частота,
r – сопротивление среды,
m – масса груза,
k – жёсткость пружины.
И пусть на шарик начинает действовать внешняя периодическая сила
F (t) = F 0 cos ω t, (10.1)
где ω – частота этого воздействия, F 0 - амплитуда силы. Частота ω внешней силы может принимать произвольные значения, никак не связана с собственной частотой ω0, которая является параметром самой колебательной системы. Внешней силой (10.1) может быть, например, воздушный поток. Тогда уравнение движения груза (второй закон Ньютона) будет иметь вид:
m 
= ∑ Fx = F тр. х + F упр. х + F внеш. х = − r 
− kx + F 0 cos ω t
или:
m + r + kx = F 0 cos ω t,
или, как и в разд (9.8),
. (10.2)
Уравнение (10.2) называется уравнением вынужденных колебаний груза. Без специальных методов процедура решения уравнения (10.2) весьма громоздка, и ею мы заниматься не будем.
Если груз начинает движение под действием силы (10.1) из состояния покоя, то сначала он раскачиваться и его амплитуда Х будет расти. Этот этап «раскачки» называется переходным процессом (рис. 10.1). Затем амплитуда колебаний устанавливается определённой величины, зависящей от параметров системы r, m, k и от частоты ω и амплитуды F 0 внешней силы. Наступает установившийся синусоидальный процесс вынужденных колебаний:
х (t) = Х sin(ω t + φ),
где Х = Х (ω, F 0, m, r, k) – амплитуда установившихся колебаний, φ − начальная фаза.
Замечание 1. Частота вынужденных колебаний ω всегда устанавливается равной частоте внешней силы, какова бы ни была собственная частота ω0.
Замечание 2. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, экспоненциально приближаясь к установившемуся, но реально полагают, что он практически заканчивается за время порядка 3τ, где τ = 1/β – время релаксации (разд. 9.8), когда амплитуда Х достигает примерно 95% от своего установившегося значения при t →∞ (рис. 10.1).
Амплитудно-частотная характеристика. Резонанс
При заданных параметрах m, k и r колебательной системы и среды амплитуда установившихся колебаний Х зависит от частоты ω внешней силы.
Определение. Зависимость Х (ω) называется амплитудно-частотной характеристикой колебательной системы.
Формула зависимости Х (ω) достаточно сложна. Графический вид этой зависимости показан на рис. 10.2. На этом рисунке Х (0) – это отклонения груза под действием постоянной силы F 0. При частоте внешнего воздействия ω→∞ отклонение груза стремится к нулю. При частоте ω = ω0 амплитуда колебаний достигает максимума и в Q раз превышает значение Х (0), где Q – добротность колебательной системы. Это явление называется резонансом в колебательной системе, а соответствующая частота ω = ω0 называется резонансной (ωрез).
При резонансе амплитуда колебаний может достигать очень больших значений, что может привести к разрушению колебательной системы. Так например, при добротности Q = 100 постоянная сила, дающая смещение в колебательной системе всего на 1 мм, при резонансе приведёт к смещению в 100 мм. Поэтому резонанс в механических системах (мостах, машинах, высоких мачтах и других конструкциях) весьма опасен и его стараются избегать различными методами. Иногда резонанс можно наблюдать в дрожании оконных стёкол, когда недалеко от дома проезжает какая-нибудь тяжёлая машина и в ней частота работающего двигателя совпадает с резонансной частотой оконного стекла.