СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Правые и левые тройки векторов

7.1. В каком случае упорядоченную тройку некомпланарных векторов называют правой (левой)?

7.2. В каком случае перестановку векторов упорядоченной тройки называют циклической (ациклической)? Приведите примеры.

7.3. Изменяется ли ориентация упорядоченной тройки некомпланарных векторов при циклической (ациклической) перестановке? Приведите примеры.

Определение и свойства векторного произведения

Векторов

7.4. Сформулируйте определение векторного произведения ненулевых векторов.

7.5. Как определяется векторное произведение векторов в случае, когда хотя бы один множитель - нулевой вектор?

7.6. Пусть , , а угол между этими векторами равен . Вычислите .

7.7. Найдите векторные произведения векторов:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

7.8. В чем заключается геометрический смысл длины векторного произведения двух ненулевых векторов?

7.9. Как найти площадь параллелограмма, построенного на двух векторах?

7.10. Как найти площадь треугольника, построенного на двух векторах?

7.11. Каково векторное произведение двух коллинеарных векторов? Ответ обоснуйте.

7.12. Каково расположение двух ненулевых векторов, если известно, что их векторное произведение равно нулевому вектору? Ответ обоснуйте.

7.13. Чему равно векторное произведение ненулевого вектора на себя (векторный квадрат)? Повторите, чему равен скалярный квадрат вектора.

7.14. Обладает ли операция векторного произведения векторов свойством коммутативности?

7.15. В чем заключаются алгебраические свойства операции векторного произведения векторов?

7.16. По данным задания 7.6 найдите .

7.17. Упростите выражения:

а) ;

б) ;

в) .

7.18. В чем заключается физический смысл векторного произведения двух ненулевых векторов?

Выражение в декартовых координатах

7.19. Как найти координаты векторного произведения двух векторов по их координатам в прямоугольном базисе?

7.20. Пусть в прямоугольном базисе , . Найдите:

а) ; б) ; в) ; г) .

7.21. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

7.22. Найдите площадь треугольника с вершинами , , .

7.23. Найдите высоту треугольника из задания 7.22

7.23. Сила приложена к точке . Найдите момент этой силы относительно точки .

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

7.24. Сформулируйте определение смешанного произведения векторов.

7.25. В чем заключается геометрический смысл смешанного произведения векторов?

7.26. Как, найти объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах?

7.27. Как найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах?

7.28. Чему равно смешанное произведение трех компланарных векторов?

7.30. Каково расположение трех ненулевых векторов, если известно, что их смешанное произведение равно нулю?

7.31. Сформулируй признак компланарности векторов.

7.32. Как изменяется величина смешанного произведения при циклических и ациклических перестановках векторов?

7.33. Пусть в прямоугольном базисе , , . Пользуясь определением, найдите смешанное произведение этих векторов.

7.34. Как найти смешанное произведение векторов по их координатам в прямоугольном базисе?

7.35. Найдите смешанное произведение векторов , , . Какова ориентация тройки ?

7.36. Найдите объем тетраэдра с вершинами , , , и высоту, проведенную из вершины на плоскость .

7.38. Лежат ли точки , , , в одной плоскости?