Интервальные оценки числовых характеристик генеральной совокупности. Доверительный интервал

Если на основании выборочных данных дается оценка того или иного параметра генеральной совокупности, то при этом необходимо иметь в виду, что данная оценка является лишь приближенным значением неизвестного параметра. При малом объеме выборки значение точечной оценки может очень сильно отклоняться от истинного значения параметра. Вопрос состоит в том, как велико это отклонение.

Чтобы решить этот вопрос, используются интервальные оценки, которые даются в виде доверительного интервала.

Доверительный интервал – это интервал со случайными границами, в котором с заданной вероятностью находится значение параметра генеральной совокупности.

называется доверительной вероятностью, она характеризует надежность результатов. Чем выше , тем выше надежность, но при этом снижается точность. В медицинских и биологических исследованиях в качестве берут 0,9; 0,95 или 0,99.

Доверительный интервал может быть построен для различных числовых характеристик генеральной совокупности. Мы рассмотрим построение доверительного интервала для генеральной средней в том случае, когда исследуемая величина распределена по нормальному закону.

Доверительный интервал для оценки генеральной средней с заданной доверительной вероятностью нормально распределенного признака Х при неизвестном среднем квадратическом отклонении (что в основном и имеет место на практике) находится по формуле

где - вычисленная по выборке выборочная средняя,

- квадратный корень из исправленной выборочной дисперсии,

- объем выборки,

- коэффициент Стьюдента, вычисляемый по таблице. Он зависит от доверительной вероятности и числа степеней свободы .

Величина , равная половине длины доверительного интервала, представляет собой наибольшее отклонение выборочной средней от генеральной средней , которое возможно при заданной доверительной вероятности g. Она называется предельной ошибкой выборки.

Пример. Из большой партии таблеток некоторого лекарственного препарата случайным образом были извлечены 8 таблеток. При измерении массы таблеток были получены следующие результаты (в мг): 151, 147, 152, 152, 151, 148, 151, 148. Оценить истинную массу таблетки с помощью доверительного интервала с доверительной вероятностью .

Решение. Составим дискретный ряд распределения:

Найдем выборочную среднюю :

.

Для вычисления выборочной дисперсии в данном случае удобнее использовать формулу

, тогда исправленная выборочная дисперсия будет равна

и, следовательно, стандартное отклонение равно:

.

По таблице значений коэффициента Стьюдента при доверительной вероятности и числе степеней свободы находим значение .

Находим доверительный интервал для оценки истинной массы таблетки:

.

Таким образом, истинное значение массы таблетки с доверительной вероятностью 0,95 заключено в интервале .

Таблица значений коэффициента Стьюдента