МЕТОДИКА РАБОТЫНАД ВНЕТАБЛИЧНЫМ
СЛОЖЕНИЕМ И ВЫЧИТАНИЕМ
К приемам внетабличного сложения и вычитания обычно относят:
- приемы устных вычислений в пределах ста, не входящие в таблицы (сложение и вычитание двузначных чисел);
- приемы устных вычислений в пределах тысячи и более (сложение и вычитание трехзначных и многозначных чисел, которое сводится к сложению однозначных или двузначных чисел).
Задачи изучения темы
1. Познакомить учащихся с правилом о порядке выполнения действий в выражениях со скобками.
2. Раскрыть систему вычислительных приемов внетабличного сложения и вычитания.
3. Выработать вычислительные навыки по отношению ко всем приемам внетабличного сложения и вычитания.
4. Научить выполнять проверку сложения и вычитания на основе знания связи между компонентами и результатами данных арифметических действий.
Этапы и методика изучения темы
1-й этап. Приемы сложения и вычитания в пределах 100, основанные на знании нумерации.
Этот этап совмещен с изучением нумерации чисел от 1 до 100.
Вводятся следующие приемы:
- прием вида ± 1;
- приемы вида 30 + 5, 35 – 5, 35 – 30;
- приемы вида 40 + 50, 50 – 20 (сложение и вычитание разрядных двузначных чисел, т.е. круглых десятков).
Рассмотрим суть этих приемов и методику работы над ними.
Прием вида ± 1 детям уже знаком, он изучался в теме "Сложение и вычитание в пределах 10". Суть приема: прибавить 1 – значит назвать следующее число, вычесть 1 – назвать предыдущее. Дети опираются на знание натурального ряда чисел. Наиболее трудными при изучении данного приема являются случаи вида 29 + 1, 30 – 1. Здесь осуществляется переход к следующему или предыдущему десятку.
В случае прибавления единицы ученикам нужно продемонстрировать образование нового десятка на пособиях (демонстрационных и индивидуальных).
Например, 2 9 + 1 = 2 дес. 9 ед. + 1 ед. = 2 дес. 10 ед. = 3 дес. = 30. Берется 2 бруска, обозначающих десятки, и 9 кубиков, обозначающих единицы. Добавляется 1 кубик, их становится 10. Дети вспоминают, что 10 единиц – это 1 десяток, поэтому 10 отдельных кубиков нужно заменить бруском-десятком, получится 3 десятка, т.е. 30.
Аналогично рассматривается и случай 30 – 1. Число 30 изображается с помощью 3–х брусков-десятков. Но чтобы вычесть 1, нужно заменить 1 брусок-десяток 10-ю кубиками-единицами: 30 – 1 = 2 дес. 10 ед. – 1 ед. = 2 дес. 9 ед. = 29.
Для иллюстрации этих приемов рекомендуется также использовать счеты, на которых очень наглядно можно показать переход к следующему или предыдущему десятку.
В качестве опоры для усвоения нумерации и выполнения вычислений М.Н. Перова [43] предлагает составить таблицу-квадрат (10 × 10) с десятью рядами чисел от 1 до100:
| … | |||||||||
| … … … |
Такие же квадраты могут начертить в своих тетрадях или на индивидуальных карточках ученики и вписать в них числа от 1 до 100. Ученики, затрудняющиеся в усвоении разрядного состава чисел, могут вписывать числа двумя цветами: единицы – одним цветом, а десятки – другим. Данный прием имеет коррекционную направленность.
Сначала ученики выполняют вычисления в опоре на пособия. А затем нужно постепенно осуществить переход к вычислениям в уме. Пособия и опорные сигналы будут использоваться только в качестве индивидуальной помощи тем детям, у которых возникнут вычислительные ошибки.
Приемы вида 30 + 5, 35 – 5, 35 – 30 основаны на знании разрядного (десятичного) состава двузначных чисел. С подобными приемами учащиеся уже знакомы, они были введены при изучении нумерации чисел от 11 до 20. Объясняются приемы следующим образом.
30 + 5: 30 – это 3 десятка, да еще 5 единиц, будет 35;
35 – 5: в числе 35 3 десятка и 5 единиц, вычтем 5 единиц, получим 3 десятка, или 30;
35 – 30: в числе 35 3 десятка и 5 единиц, вычтем 3 десятка, получим 5 единиц.
Детям с низким уровнем развития можно разрешить на первых этапах изучения приемов пользоваться нумерационными моделями (любыми моделями десятков и единиц, например пучками счетных палочек, связанными по 10 - десятками, и отдельными палочками-единицами) или счетами. Это поможет избежать использования нерациональных приемов присчитывания и отсчитывания по одному или по частям.
Например, нужно из 35 вычесть 5. Изображаем число 35 с помощью нумерационных моделей: 35 – это 3 десятка (выкладываем 3 бруска) и 5 единиц (выкладываем 5 кубиков). Нужно вычесть 5, убираем 5 кубиков, остается 3 бруска, т.е. 3 десятка, или 30. Аналогично рассматриваются и другие приемы.
Для облегчения понимания приемов в качестве опорных сигналов можно использовать дуги, подчеркивания (единицы подчеркиваются одной чертой, а десятки – двумя), рамки:
 | |||
 |
35 – 5 35 – 30 3 5 – 5 35 – 5
Можно также записывать десятки и единицы разными цветами. Это поможет детям, имеющим проблемы в развитии, осознать, что действия выполняются поразрядно.
Приемы 35 – 5 и 35 – 30 нужно обязательно сравнить. В первом примере мы вычитаем единицы, а десятки не изменяются, а во втором примере вычитаем десятки, а единицы не изменяются. Сравниваем ответы.
Для обобщения способов вычисления, основанных на знании разрядного состава чисел, Г.Г. Микулина [28, 29] предлагает использовать примеры, в которых для записи чисел вместо обычных цифр используются условные значки ("сказочные" цифры) или буквы. При этом применяется обычное обозначение нуля.
Например, предлагается решить примеры такого вида:
ВК – К (ответ В0, т.к. вычли все единицы, остались десятки);
В0 + К (ответ ВК);
ВК – В0 (ответ К);
ВК – В (ответ К является неверным, этот пример является ловушкой, т.к. мы должны вычитать из К число В, но нам неизвестна разница между ними).
Приемы вида 40 + 50, 50 – 20 (сложение и вычитание разрядных двузначных чисел, т.е. круглых десятков) также основаны на знании нумерации, умении заменять десятки единицами и наоборот.
Эти приемы можно проиллюстрировать с помощью моделей десятков (пучков-десятков счетных палочек или других нумерационных пособий). Дети сами могут объяснить суть приемов.
40 + 50: 40 – это 4 десятка, 50 – это 5 десятков, 4 десятка да 5 десятков, получится 9 десятков, или 90. Аналогично объясняется и прием 50 – 20. Полезно выполнить подробную запись:
40 + 50 = 90 50 – 20 = 30.
4 дес.+ 5 дес. = 9 дес. = 90 5 дес.– 2 дес. = 3 дес. = 30
При изучении всех нумерационных приемов обязательно следует давать задания, связанные с объяснением способов вычислений, комментированием. Для этого полезно использовать хоровое проговаривание, работу в парах (ученик объясняет своему соседу, как он решает пример). Важно, чтобы каждый ребенок проговорил сначала вслух, а затем про себя, как он считал. Для детей, имеющих речевые нарушения, громкоречевой этап особенно важен, поскольку он имеет коррекционное значение.
На 1-м этапе работы над темой также продолжается формирование навыков табличного сложения и вычитания в пределах 20-ти.
2-й этап. Устные приемы сложения и вычитания в пределах 100 без перехода через разряд.
На этом этапе дети знакомятся со скобками. Вводится правило о том, что действие в скобках выполняется первым.
На 2-м и 3-м этапах изучается следующая система вычислительных приемов. Сначала рассматриваются приемы, которые включают меньшее число операций, затем - приемы, которые включают большее число операций. Там, где возможно, приемы рассматриваются в сравнении: 36 + 2 и 36 + 20. Приемы сложения чередуются с аналогичными приемами вычитания, которые вводятся в сопоставлении с только что рассмотренными приемами сложения. Таким образом, обеспечивается определенный перенос и дифференциация способов вычисления.
На 2-м этапе вводятся следующие приемы [33, с. 48 - 52]:
- приемы вида 36 + 2, 36 + 20;
- приемы вида 36 - 2, 36 – 20;
- прием вида 26 + 4, 95+ 5;
- прием вида 30 – 7;
- прием вида 60 – 24.
Теоретической основой всех этих приемов являются правила: единицы складывают с единицами, десятки складывают с десятками; единицы вычитают из единиц, десятки вычитают из десятков.
Ученик должен освоить систему операций, составляющих каждый прием (алгоритм выполнения действия), и научиться выбирать прием применительно к данным числам (алгоритм распознавания). Очень распространенной является такая ситуация: дети поняли отдельный конкретный прием, научились решать аналогичные примеры, но после ознакомления со следующими приемами начинают их смешивать, уподоблять, в результате чего допускают ошибки (происходит интерференция навыков). Поэтому после интенсивного ознакомления с вычислительными приемами необходим длительный этап закрепления и формирования навыков, когда учащимся приходится решать разные примеры и выбирать из ряда способов действий соответствующий и самый удобный.
Для всех вычислительных приемов, изучаемых на 2-ом и 3-ем этапах, используется единая методика работы, которая имеет коррекционно-развивающую направленность.
1. Ознакомление с приемом (способом действия) с помощью соответствующего предметного действия (например, с пучками палочек и отдельными палочками или другими моделями десятков и единиц).
Учащимся коррекционных классов обязательно нужно не только наблюдать за демонстрацией, производимой учителем, но и самим работать с индивидуальными пособиями, выполнять материализованные действия. Важно также предусмотреть возможность самостоятельного открытия вычислительного приема детьми.
Для облегчения понимания приема можно использовать счеты, абак в виде разрядной таблицы. В сделанные кармашки можно помещать счетные палочки или другие нумерационные пособия:
| Десятки | Единицы |
2. Решение примеров с опорой на иллюстрации с выполнением подробной записи и подробного объяснения.
При выполнении записей можно использовать те же опорные сигналы, что и на предыдущем этапе (дуги, рамки, подчеркивания, обозначение десятков и единиц разным цветом), а также "лучики", "ножки", которые применялись при работе над табличным сложением и вычитанием в пределах 20-ти.
Школьники вслух объясняют, как они считают, комментируют выполняемые действия. Особое внимание нужно обратить на то, чтобы для каждого ученика был организован громкоречевой этап выполнения действия. Для детей с речевыми нарушениями можно использовать индивидуальные карточки-опоры, на которых пишутся ключевые слова, используемые при комментировании.
3. Решение примеров с краткой записью и устным, более кратким пояснением.
Важно показать ученикам, как можно более кратко объяснять способ решения примера, дать образец записи. Это обеспечит переход к этапу частичного свертывания.
4. Обобщение способа вычисления.
Обобщение выполняется в словесной форме, составляется памятка-алгоритм или опорная схема.
С помощью памятки выделяются основные операции, которые входят в вычислительный прием. В дальнейшем составленный алгоритм служит опорой для выполнения рассуждений, объяснения последовательности действий. Кроме того, данный методический прием позволяет осуществить коррекцию недостатков памяти, т.к. при работе с алгоритмами происходит их заучивание и автоматизация. Памятка служит также и средством самоконтроля при выполнении самостоятельной работы.
5. Закрепление приема и выработка вычислительного навыка.
Эти упражнения должны постепенно усложняться. Обязательно должна быть предусмотрена и дифференцированная работа, направленная на выработку вычислительных навыков.
Рассмотрим методику работы над каждым из вычислительных приемов.
Вычислительные приемы вида 36 + 2, 36 + 20 вводятся одновременно с правилом "Единицы складывают с единицами, десятки складывают с десятками". Рекомендуется следующая запись:
36 + 2 = 36 + 20 =
|  |
30 6 30 6
30 + (6 + 2) = 38 30 + 6 + 20 = (30 + 20) + 6 = 56
Разрядные слагаемые, составляющие двузначное число, подписываются под ним с помощью "лучиков", "ножек". Некоторые учителя говорят так: "Запишем числа-помощники". Можно после этого точкой отметить то число, к которому прибавляют. Подробное объяснение для первого примера может звучать так: заменим число 36 суммой разрядных слагаемых, сложим единицы с единицами, к 6-ти прибавить 2, получится 8; к 30 прибавим полученный результат 8, получится 38. Варианты записей с использованием других опорных сигналов:
36 + 2 36 + 20 3 6 + 2 36 + 20
= =
Возможно и более простое для детей объяснение. Например: нужно к 36 прибавить 20. 36 – это 30 и 6. Прибавлю десятки к десяткам: 30 + 20 = 50, да еще 6, будет 56.
Можно предложить соответствующие простые речевые опоры для объяснения в виде индивидуальных карточек:
– это и . Прибавлю единицы к единицам. К прибавить , получится , да еще , будет .
– это и . Прибавлю десятки к десяткам. К прибавить , получится , да еще , будет .
Памятка-алгоритм решения для первого вычислительного приема может быть следующей:
- заменю двузначное число суммой разрядных слагаемых;
- сложу единицы с единицами;
- прибавлю полученный результат к десяткам.
Памятка-алгоритм решения для второго вычислительного приема может быть следующей:
- заменю двузначное число суммой разрядных слагаемых;
- сложу десятки с десятками;
- к полученному результату прибавлю единицы.
Для того, чтобы у детей не произошло неверного обобщения (суммой всегда заменяют первое число), нужно предлагать для решения и примеры вида 60 + 18, 20 + 14, где второе число заменяют разрядными числами.
Вычислительные приемы вида 36 - 2, 36 – 20 вводятся одновременно с правилом "Единицы вычитают из единиц, десятки вычитают из десятков".
Рекомендуется следующая запись:
36 - 2 = 36 - 20 =
| |
30 6 30 6
30 + (6 - 2) = 34 (30 - 20) + 6 = 16
Варианты записей с использованием других опорных сигналов:
 |
36 - 2 36 - 20 3 6 - 2 36 – 20
= =
Карточки-опоры для объяснения способа вычисления составляются по аналогии с карточками для ранее изученных приемов.
Памятка-алгоритм решения для первого вычислительного приема может быть следующей:
- заменю двузначное число суммой разрядных слагаемых;
- вычту из единиц единицы;
- прибавлю полученный результат к десяткам.
Памятка-алгоритм решения для второго вычислительного приема может быть следующей:
- заменю двузначное число суммой разрядных слагаемых;
- вычту из десятков десятки;
- к полученному результату прибавлю единицы.
Вычислительный прием вида 26 + 4, 95+ 5 аналогичен приему вида 34 + 2, но является его частным случаем, поэтому требует особого рассмотрения.
Особенностью этого приема является то, что при сложении единиц получается десяток, который прибавляется к десяткам. Запись выполняется такая же, как и на предыдущем этапе.
Вычислительный прием вида 30 – 7 отличается от ранее введенных приемов, т.к. здесь производится замена двузначного числа суммой удобных, а не разрядных слагаемых.
Подготовка к введению приема – замена круглых десятков суммой по образцу:
50 = 40 + , 70 = + 10.
В примерах вида 30 – 7 отсутствуют отдельные единицы в вычитаемом. Чтобы дети смогли открыть способ вычисления, нужно предложить им попробовать решить пример с помощью счетных палочек. Для решения приходится отделить 1 десяток, развязать его и взять 7 палочек. Оставшиеся единицы присоединяются к десяткам. Выполняется подробная запись. Она может быть такого вида:
30 - 7 =
 |  |
20 10
20 + (10 – 7) = 23
Дети убеждаются, что и здесь единицы вычитают из единиц – из 10 единиц, которые получают, заменяя уменьшаемое суммой чисел, одно из которых равно 10.
После решения нескольких аналогичных примеров следует обобщить способ вычисления. Примерный вариант памятки- алгоритма:
- заменю двузначное число суммой удобных слагаемых, одно из которых 10;
- вычту единицы из 10-ти;
- прибавлю оставшиеся единицы к десяткам.
Новый прием полезно сопоставить с приемами, рассмотренными ранее. Дети приходят к выводу: во всех предыдущих случаях двузначное число мы заменяли десятками и единицами (суммой разрядных слагаемых), а в этом случае – числом 10 и другим круглым числом (суммой удобных слагаемых).
Вычислительный прием вида 60 – 24 достаточно сложный и требует особого внимания.
В отличие от предыдущих приемов, когда вычитали из одной части уменьшаемого, и надо было не забыть прибавить другую часть, в новом приеме надо вычесть обе части – и десятки, и единицы:
60 - 24 =
 |  |
20 4
(60 – 20) – 4 = 36
Этот прием важно рассмотреть на разных моделях чисел (счетные палочки, треугольные модели). Обобщение способа можно сделать в следующей форме: вычитаем по частям – сначала десятки, потом единицы. Можно составить и более подробный алгоритм:
- заменю вычитаемое суммой разрядных слагаемых;
- вычту из десятков десятки;
- из полученного результата вычту единицы.
Новый прием особенно важно сопоставить с другими, например, сравнить
30 + 12 и 30 – 12. В этих приемах имеется сходство: в обоих случаях мы или прибавляем, или вычитаем по частям.
Для предотвращения интерференции навыков важно сопоставить такие приемы: 67 – 30 и 60 – 37
И в первом случае, и во втором случае мы из десятков вычитаем десятки, но затем в первом случае мы прибавляем единицы, а во втором – их вычитаем.
3-й этап. Устные приемы сложения и вычитания в пределах 100 с переходом через разряд.
На 3-м этапе вводятся следующие приемы [33, с.56 - 57]:
- приемы вида 26 + 7.
- приемы вида 35 – 7.
Данные приемы не являются принципиально новыми, поскольку уже введено сложение и вычитание с переходом через десяток (вида 8 + 5, 12 – 5). При выполнении сложения и вычитания с переходом через разряд (26 + 7, 35 – 7) также выполняется прибавление и вычитание по частям так, чтобы после первого шага получились круглые десятки.
Например, 26 + 7: 26 + 4 = 30, 30 + 3 = 33; 35 – 7 = 35 – 5 – 2 = 28.
Поэтому дети на основе выполнения переноса могут сами открыть новые вычислительные приемы.
Но для учащихся коррекционных школ подобные приемы являются очень сложными, поэтому нужна большая подготовительная работа к введению приемов.
Рассмотрим методику работы над каждым из приемов.
Подготовка к введению вычислительного приема вида 26 + 7 включает следующее:
- повторение способа вычисления для случаев вида 8 + 5;
- дополнение двузначных чисел до круглого числа (например, дополни числа 26, 24, 28 до 30, дополни числа 46, 54, 31 до круглого числа);
- упражнения на воспроизведение состава чисел первого десятка;
- решение примеров вида 30 + 4, 40 + 7 (прибавление к круглым десяткам однозначных чисел);
- решение примеров вида 38 + 2 + 4, 27 + 3 + 1 с последующими вопросами "Сколько всего мы прибавили к 38? К 27?".
Знакомство с приемом выполняется с помощью абака, счетов, нумерационных пособий (счетных палочек, брусков и кубиков из арифметического ящика и т.п.). На основе выполнения предметных действий рассматривается способ вычисления и выполняется подробная запись:
26 + 7 =
 |
4 3
(26 + 4) + 3 = 33
Возможны и такие варианты выполнения записей:
26 + 7 = 12 26 + 7 = 33
7 = 4 + 3
4 3 26 + 4 = 30
30 + 3 = 33
Памятка-алгоритм решения для данного вычислительного приема может быть следующей:
- буду прибавлять число по частям;
- сначала прибавлю столько, чтобы получился круглый десяток (дополню до круглого числа);
- вспомню состав однозначного числа и определю, сколько единиц осталось прибавить;
- прибавлю оставшиеся единицы.
Некоторые дети, хорошо знающие таблицу сложения, иногда предлагают другой прием: 26 + 7 = 20 + (6 + 7) = 20 + 13 = 33. Не нужно им запрещать вычислять таким образом, если им так удобно. Но вводить оба приема вычисления одновременно в коррекционной школе нецелесообразно.
Подготовка к введению вычислительного приема вида 35 – 7 включает следующее:
- повторение способа вычисления для случаев вида 12 – 5;
- уменьшение двузначных чисел до круглого числа (например, уменьши числа 26, 42, 71 до круглого числа; вычти из чисел 56, 22, 63 все единицы);
- упражнения на воспроизведение состава чисел первого десятка;
- решение примеров вида 30 - 4, 40 - 7 (вычитание из круглых десятков однозначных чисел).
На основе выполнения предметных действий рассматривается способ вычисления и выполняется подробная запись:
35 - 7 =
 |  |
5 2
(35 - 5) - 2 = 28
Памятка-алгоритм составляется по аналогии со сложением. Также можно использовать формы записи, составленные по аналогии с теми, которые применялись при сложении.
Достаточно типичной является ошибка такого вида 35 – 7 = 32 (дети вычисляют так: 7 - 5 = 2, 30 + 2 = 32). Поэтому нужно рассмотреть такой способ вычисления и предложить детям объяснить, почему он неверный.
На этапе закрепления всех введенных вычислительных приемов М.И. Моро, М.А. Бантова [7] и другие авторы прелагают давать примеры для устного решения с обязательной зрительной опорой (с записью примеров на доске или в учебнике). Это объясняется тем, что дети еще находятся на этапе освоения приемов, у них только складывается умение выполнять необходимые операции. Выбор приема также представляет определенные трудности.
Например, выполняя действие 54 + 8, ученик может правильно дополнить 54 до 60. Затруднение вызывает разложение числа 8 на 6 и 2. Число 6 ученик использует, чтобы получить круглое число, но сколько еще единиц осталось прибавить к круглым десяткам (к 60), он забывает.
Таким детям на этапе освоения приемов сложения и вычитания с переходом через разряд можно разрешить использовать частичную наглядность.
Например. Нужно вычислить: 45 – 8. Ученик откладывает 8 палочек (или рисует их). Далее он рассуждает так: "Сначала из 45 вычтем 5, будет 40 (убирает или зачеркивает 5 палочек). Осталось вычесть 3. 40 – 3 = 37".
Для закрепления и выработки навыков на всех этапах важно предлагать разнообразные задания и упражнения: дидактические игры, примеры с шифром, занимательные рамки, магические квадраты, задания на сравнение выражений, проверку заданных равенств и неравенств, примеры с пропущенными знаками действий и др.
На 3-м этапе также вводится проверка сложения и вычитания, основанная на знании связи между компонентами и результатами действий сложения и вычитания. Приемы проверки особенно важны для формирования у младших школьников навыков самоконтроля.
При изучении раздела "Числа от 1 до 1000" дети знакомятся с приемами устных вычислений для трехзначных чисел [36, с. 54 - 57]. Большинство приемов учащиеся могут объяснить сами по аналогии с действиями над двузначными числами:
При сложении и вычитании чисел, запись которых оканчивается нулями, всегда можно заменить их действиями с сотнями и десятками. Например:
300 + 200 = 500 потому, что 3 сот. + 2 сот. = 5 сот. (аналог: 30 + 20)
800 – 600 = 200 потому, что 8 сот. - 6 сот. = 2 сот. (аналог: 80 - 60)
120 – 50 = 70 потому, что 12 дес. – 5 дес. = 7 дес. (аналог: 12 - 5)
300 – 60 = 240 потому, что 30 дес. – 6 дес. = 24 дес. (аналог: 30 - 6)
70 + 80 =150 потому, что 7 дес. + 8 дес. = 15 дес. (аналог: 7 + 8)
Учащимся предлагается объяснить разные способы вычислений:
а) 450 + 30 = 400 + (50 + 30) = 480, или 45 дес. + 3 дес. = 48 дес.
380 + 20 = 300 + (80 + 20) = 400, или 38 дес. + 2 дес. = 40 дес.
620 – 200 = (600 – 200) + 20 = 420, или 62 дес. – 20 дес. = 42 дес.
б) 470 + 80 = (470 + 30) + 50 = 550 560 - 90 = (560 - 60) - 30 = 470
 |
30 50 60 30
47 дес. + 8 дес. = 55 дес. 56 дес. - 9 дес. = 47 дес.
в) 260 + 310 = (260 + 300) + 10 =
260 + 310 = (200 + 300) + (60 + 10) =
670 – 140 = (670 – 100) – 40 =
670 – 140 = (600 – 100) + (70 – 40) =
Аналогичные приемы рассматриваются и для вычислений с многозначными числами в 4 классе.