Площадь поверхности параллелепипеда.

Тема: «Параллелепипед. Объём и площадь поверхности параллелепипеда »

План

1. Параллелепипед и его основные элементы.

2. Различные способы изображения параллелепипеда.

3. Свойства параллелепипеда.

4. Площадь поверхности параллелепипеда.

5. Объём прямоугольного параллелепипеда.

6. Решение задач по данной теме.

Параллелепипед и основные его элементы.

Определение. Поверхность, состоящая из двух равных

параллелограммов АВСD и А₁В₁С₁D₁ и четырех

параллелограммов АА₁В₁В и ВВ₁С₁С, СС₁D₁D, АА₁D₁D

называется параллелепипедом.

АВСDА₁В₁С₁D₁ - параллелепипед.

 

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед,

называются гранями.

Грани А₁В₁С₁D_1, ВВ₁С₁С, АВСD.

При этом грани АВСD и А₁В₁С₁D₁ чаще называют

основаниями, а остальные грани боковыми гранями.

Стороны параллелограммов называются ребрами

параллелепипеда.

Рёбра: АВ, ВС,CD, AD, А₁В₁,В₁С₁, C₁D₁, A₁D₁,

Ребро СС₁, не принадлежит основаниям, оно называется

боковым ребром. АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ – боковые рёбра.

Вершины параллелограммов называют вершинами

параллелепипеда.

Вершины: А, В, С, D, А₁,В₁,С₁,D_1,

Вершины D₁ и В не принадлежат одной грани и называются

противоположными.

D₁ и В, А₁ и С, D и В_1, А и C₁ - противоположные вершины.

 

Различные способы изображения параллелепипеда.

Параллелепипед можно изображать разными способами.

1. Параллелепипед в основании, которого лежит ромб (изображениями граней являются параллелограммы) (рис.2.1).

2. Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат. Невидимые рёбра АА₁, АВ, АD изображаются штриховыми линиями (рис.2.2).

3. Параллелепипед в основании, которого лежит прямоугольник или параллелограмм (рис.2.3).

4. Параллелепипед, у которого все грани квадраты. Чаще его называют кубом (рис.2.4).

Рис.2.1 Рис.2.2 Рис.2.3 Рис.2.4

 

Свойства параллелепипеда.

Все рассмотренные параллелепипеды обладают свойствами. Сформулируем и докажем их.

Свойство 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Доказательство.

1)АВСD– параллелепипед

2)АВВ₁А₁–параллелепипед ВВ₁

4) ВС=АD, ВВ₁ =АА₁ (по свойству параллелограмма),

5) В₁ВС= А₁АD (как углы с сонаправленными сторонами)

6)

Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ₁А₁ соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма ВСС₁D₁, значит эти параллелограммы равны.

Определение. Диагональ параллелепипеда - это отрезок

соединяющий противоположные вершины.

В₁D, BD₁, А₁С– диагонали параллелепипеда.

Свойство 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство.

Для доказательства свойства рассмотрим четырехугольник ВВ₁D₁D. Его диагонали В₁D, BD₁ являются диагоналями параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁.

1)ВВ₁=АА_{1, (}из свойства грани); АА₁₌DD_1, АА₁ DD₁ (по свойству грани)

2) ВВ₁=АА_1, АА₁=DD₁ ; _, АА₁ DD₁ .

3) -параллелограмм, значит В₁D BD₁=О, причём В₁О=ОD_, BO=OD₁.

4) ВС₁D₁А – параллелограмм, значит С₁А _, С₁ А, _.

Площадь поверхности параллелепипеда.

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

S= 2(a·b+a·h+b·h),

где S- площадь прямоугольного параллелепипеда,

a- длина, b- ширина, h- высота.

Площадь поверхности куба

Формула площади куба: S = 6 a²,

где S- площадь куба, a- длина грани куба.