Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты т.е. V = a b h.
Доказательство теоремы на стр.159-160 [1].
Отсюда вытекают два следствия:
1. Следствие: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту V= Sосн*H
Доказательство.
Примем грань с рёбрами а и b за основание. Тогда площадь S основания равна а*b, а висота h параллелепипеда равна c. Следовательно, V = 
.
2. Следствие: Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту: V= Sосн*H
, где a - ребро куба
Доказательство.
Для доказательства этого утверждения дополним прямую треугольную
призму с основанием АВС (
А прямой) до прямоугольного
параллелепипеда так, как показано на рисунке. В силу следствия
1 объем этого параллелепипеда равен 
, где 
— площадь треугольника АВС, 
— высота призмы. Плоскость 
ВС разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы, одна из которых — данная. (Эти призмы равны, так как имеют равные основания и равные высоты.) Следовательно, объем V данной призмы равен половине объема параллелепипеда, т. е. V = 
, что и требовалось доказать.
Решение задач.
Задача №1 Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA 1=3.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный 
в котором 
является гипотенузой. По теореме Пифагора 
В прямоугольнике 
– диагональ, 
= 
. Значит,
Ответ: 50.
Задача№2. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
, 
, 
. Дайте ответ в градусах.
Решение.
В прямоугольнике 
отрезок 
является диагональю, 
По теореме Пифагора: 
Прямоугольный 
равнобедренный: 
, значит, его острые углы равны 
.
Ответ: 45.
Задача №3 Найдите квадрат расстояния между вершинами 
и 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный 
, в котором 
является гипотенузой, и найдем квадрат ее длины по
теореме Пифагора
В квадрате отрезок 
— диагональ. Значит,
Откуда 
Ответ: 59.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение параллелепипеда.
2. Сформулируйте следующие определения: основание, грань, боковая грань, ребро, вершина, противоположная вершина, диагональ параллелепипеда.
3. Какие свойства параллелепипеда вам известны?
4. Как определяется площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, куба?
5.Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, куба?
6. Сформулируйте следствия, вытекающие из теоремы на нахождениеобъёма прямоугольного параллелепипеда.
7. Что такое куб?
Литература
1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.].- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2016.- 255с.
Дополнительная литература
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.
Задание
1. Прочитать и разобрать лекцию, сделать конспект.
2. Ответить письменно на контрольные вопросы.
3. Решить по литературе [1] задачи №648 и №650.
4. Переслать сканы выполненного задания личным сообщением на https://vk.com/id587846845 или на электронную почту annokhonchenko@rambler.ru