Задание № 14. Стереометрия с доказательством.

Задание № 14. Стереометрия с доказательством.

1. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ все рёбра равны 5. На его ребре BB ₁отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C ₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD ₁.
а) Докажите, что A ₁ P:PB ₁=3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A ₁ B ₁.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB ₁ C ₁ C.

2. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁все рёбра равны 5. На его ребре BB ₁отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C ₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD ₁.
а) Докажите, что A ₁ P:PB ₁=3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A ₁ B ₁.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

3. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁плоскостью α, содержащей прямую BD ₁ и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC ₁, если AA ₁=10, AB =12.

4. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB =6, а боковое ребро SA =4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Ответ: б) 8 + 2√2

5. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB= 60, а

боковое ребро SA =37. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Ответ: б) 5√3

6. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а

боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB

соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

7. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD

со сторонами AB =4 и BC= 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA =3, SB =5, SD=3√5.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Ответ: б) 2,4

8. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD

со сторонами AB= 8 и BC= 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√21, SB=√85, SD=√57.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

9. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB= 5 и диагональю BD =9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5.На диагонали BD

основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF=BE =4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q

до плоскости ABC.

10. В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA ₁равно 2√2. На рёбрах AB, A ₁ B ₁и B ₁ C ₁отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B ₁ N= C ₁ K= 2.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Ответ: б) 15

11. В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA ₁ = 3. На ребре AB отмечена точка K так, что AK =1. Точки M и L — середины рёбер A ₁ C ₁ и B ₁ C ₁соответственно. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Ответ: б) 3/4

12. В правильной четырёхугольной призме ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA ₁ равно 4√2. На рёбрах BC и C ₁ D ₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK= C ₁ L=2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A ₁ C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

13. В основании прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁лежит равнобедренный (AB=BC) треугольник ABC. Точка K — середина ребра A ₁ B ₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC =1:3.
а) Докажите, что KM⊥AC.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB ₁, если AB =6, AC =8, AA ₁= 3.

14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁известны длины рёбер:

AB=2√2, AD =6, AA ₁=10. На рёбрах AA ₁ и BB ₁ отмечены точки E и F

соответственно, причём A ₁ E:EA =3:2 и B ₁ F:FB =3:7. Точка T — середина ребра B ₁ C ₁.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D ₁.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Ответ: б) 22,5

15. На ребре AA ₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁взята точка E так, что A ₁ E:EA =1:2, на ребре BB ₁— точка F так, что B ₁ F:FB =1:5, а точка Т —

середина ребра B ₁ C ₁. Известно, что AB =2, AD =6, AA ₁=6.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D ₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA ₁ B ₁.

16. На ребрах CD и BB ₁ куба ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁c ребром 12 отмечены точки Р и Q

соответственно, причем DP=4, а B ₁ Q =3. Плоскость APQ пересекает ребро CC ₁ в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC ₁.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К

соответственно, причем AM=DN =4 и АК =3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

18. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а высота равна 1. На ребрах АВ, АС и AS отмечены точки М, N и К соответственно, причем АМ=AN =3 и AK =7/4.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

19. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁является квадрат ABCD со стороной 4, высота призмы равна 6. Точка K делит ребро AA ₁ в соотношении AK:KA ₁=1:2. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD ₁ в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD ₁ в отношении DM:MD ₁=2:1.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 8√6

20. В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁сторона AB основания равна 12, а боковое ребро AA ₁ равно 3√6. На ребрах AB и B ₁ C ₁ отмечены точки K и L соответственно, причем AK =2, B ₁ L =4. Точка M середина A ₁ C ₁. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Ответ: б) √2

21. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD

со сторонами AB =√5 и BC =2. Длины боковых рёбер пирамиды SA =√7, SB =2√3, SD =√11.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Ответ: б) 30

22. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA=AQ=RC=2.
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
Ответ: б) 7/2

23. В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB =13, PB =15, cos PBA =48/65. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды PABC.
Ответ: б) 90

24. Основанием прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA ₁ и AB ₁ перпендикулярны.
а) Докажите, что AA ₁ =AC.
б) Найдите расстояние между прямыми CA ₁и AB ₁, если AC = 6, BC = 3.
Ответ: б) √2