НАХОЖДЕНИЕ ФИНАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ДАННОГО АВТОМАТИЗИРОВАННОГО СТАНОЧНОГО КОМПЛЕКСА




СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………….……………………………………………………3

Исходные данные……………………………………...…………………….…..4

1. Объемное планирование работы механического участка ………..…..4

1.1. При достижении максимальной загрузки технологического оборудования……………………………………………………………….4

1.2. При достижении минимальной загрузки технологического оборудования……………………………………………………………….6

2. Нахождение финальных вероятностей состояний системы и характеристик данного АСК………………………………………………………………………7

3. Оптимизация состояний системы данного АСК при оптимальном числе каналов………………………………………………………………………….9

Выводы …………………………………………………………………………12

Приложение …………………………………………………………………….13


 

ВВЕДЕНИЕ

Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятности. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели. Вероятностная математическая модель учитывает влияния факторов на поведение объекта, и, следовательно, оценивает будущее с позиции вероятности тех или иных событий.

Случайные возмущения присущи каждому процессу. Проще привести пример случайного, чем неслучайного процесса. До тех пор, пока случайные возмещения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как несущественный (детерминированный).

Примеры систем массового обслуживания (СМО): АСТ, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические системы, системы управления гибких производственных систем.

Каждая СМО состоит из какого-то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания. Это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы.

Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок (требований), поступающих в какие-то определенные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки.

Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводов к тому, что в какие-то периоды времени на входе в СМО скапливается излишнее количество заявок. Они либо становятся в очередь, либо они переходят на следующий участок. Второй случай, когда деталей нет, система не загружена, когда заявок нет.

Процесс работы СМО – это случайный процесс, с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние СМО меняется скачком в момент появления каких-то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания момента, когда не обслужили деталь).

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданных условий работы СМО с интересующими нами характеристиками. Условия работы – это число каналов, их производительность, правила работы, характера потока заявок.

Характеристики – это показатели СМО. Они описывают способность СМО справляться с потоками заявок. Ими могут быть: среднее число заявок. Обслуживаемые в единицу времени; среднее число занятых каналов, среднее число заявок в очереди, среднее время ожидания обслуживания.


ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Автоматизированный станочный комплекс имеет 8 каналов (схема комплекса представлена в приложении 4). В состав комплекса входят:

1. Сверлильно-фрезерно-расточные станки модели ИР500ПМФ4 (8 шт.)

2. Карусельно – шлифовальный станок модели ЗН764Ф (2 шт.)

3. Позиция контроля (1 шт.)

4. Позиция загрузки – разгрузки (2 шт.)

5. Штабелер для обслуживания позиций загрузки – разгрузки и контроля модели СА-ТСС-0,5 (1 шт.)

На участке в месяц обрабатываются два типа деталей (Д1= 35 шт. Д2= 65 шт.).

Средняя месячная программа выпуска деталей одного наименования 42шт.

Всего на участке обрабатывается 1=800 шт.

Детали обрабатываются на двух типах станков: сверлильно-фрезерно-расточных модели ИР800ПМФ4 и карусельно-шлифовальном станке модели ЗН764Ф.

Трудоемкость обработки детали типа Д1= 2,6 ч. (2,6 ч. на ИР500ПМФ4 и 0,6ч. на ЗН764Ф), а детали тапа Д2 = 1,5 ч (1,5 ч. на ИР500ПМФ4 и 0,5 ч. на ЗН764Ф)

Фонда времени оборудования в месяц для ИР500ПМФ4 составляет 250 ч., для ЗН764Ф – 210ч.

В систему поступают для обработки детали в среднем через 0,535 часа (t3=0,535 ч.). среднее время изготовления одной детали tоб=5 ч.

 

ОБЪЕМНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ РАБОТЫМЕХАНИЧЕСКОГО УЧАСТКА

1.1 При достижении максимальной загрузки технологического оборудования

Таблица 1.1 – Исходные данные
Станки Трудоемкость обработки деталей, час.   Фонд времени работы станка
Д1 Д2
сверлильно-фрезерно-расточной. ИР500ПМФ4 2,8 0,6  
карусельно-шлифовальном станок мод. ЗН764Ф 1,5 0,5  

Обозначим через Х1 количество деталей типа Д1, а через Х2 – типа Д2.

Математическая модель для решения данной задачи запишется следующим количество деталей деталей типа Б= *****:

- ограничения (по фонду времени роботы оборудования);

2,8Х1 + 0,6Х2 ≤ 250 (1.1)

1,5Х1 + 0,5Х2 ≤ 210 (1.2)

Х1 ≥ 0 (1.3)

Х2 ≥ 0 (1.4)

Целевая функция (суммарное время работы всех групп оборудования).

F(X1 X2) = 2,8 Х1 + 0,6 Х2 + 1,5 Х1 + 0,5 Х2 МАХ

F(X1 X2) == 3,4 Х1 + 2,0 Х2 МАХ (1.5)

Требуются найти значения Х1 и Х2 удовлетворяющие заданные ограничения (1.1) – (1.4) и обеспечить максимум целевой функции (1.5).

Параметры Х1 и Х2 являются управляемыми параметрами математической модели. Решим задачу граф – аналитическим методом.

Вычисления для построения ограничений (1.1) – (1.2).

2,8Х1 + 0,6Х2 ≤ 270 2,8Х1 + 0,6Х2 = 250

Х2= (250 – 2,8Х1)/0,6

Х1   195,8
Х2    

1,5Х1 + 0,5Х2 ≤ 210 1,5Х1 + 0,5Х2 = 210

Х2=(210 – 1,5Х1)/0,5

Х1   201,3
Х2    

Направляем допустимое ограничение (1.1) – (1.2) «вниз и влево», (1.3) – (1.4) «вверх и вправо» - оси координат.

Для нахождения точки касания границы области допустимых значений (ОДР) прямой линии определяющей целевую функцию. Построим сначала произвольную прямою для целевой функции, приравняв ее выражение к произвольному числу в пределах масштаба построения, например к 1000.

F(X1 X2) == 3,4 Х1 + 2,0 Х2 = 1000

Х2= (1000 – 3,4Х1)/2,0

Х1   249,15
Х2 498,3  

Проведя прямую линию параллельно данной линии F = 1000 находим точку касания ее границ ОДР и обозначим точкой А, которая является пересечением ограничений (1.1) и (1.2). для нахождения координат т. А, решаем следующую систему уравнений:

2,8Х1 + 0,6Х2 = 250

1,5Х1 + 0,5Х2 = 210

Х1 = 59

Х2 = 338

Оптимальные значения

Х1 опт = 59

Х2 опт = 338

МАХ значение целевой функций искомых параметров

Fx = 3,4*59 + 2,0*338=876,6 час.

Графическая область допустимых решений в Приложении 1 на рисунке 1.

1.2 при достижении минимальной загрузки технологического оборудования

Таблица 1.2 – Исходные данные
  Станки Трудоемкость обработки деталей, час.   Фонд времени работы станка
Д1 Д2
сверлильно-фрезерно-расточной. ИР500ПМФ4 2,8 0,6  
карусельно-шлифовальном станок мод. ЗН764Ф 1,5 0,5  
Требуемое количество деталей      

Обозначим через Х1 количество деталей типа Д1, а через Х2 – типа Д2. Математическая модель для решения данной задачи запишется следующим образом:

- ограничение (по фонду времени роботы оборудования);

2,8Х1 + 0,6Х2 < 250 (1.6)

1,5Х1 + 0,5Х2 < 210 (1.7)

35Х1 + 65Х2 > 820 (1.8)

Х1 > 0 (1.9)

Х2 > 0 (1.10)

- целевая функция (суммарное время работы всех групп оборудования);

F(Х12) = 2,8Х1 + 0,6Х2 + 1,5Х1 + 0,5Х2 + 35Х1 + 65Х2 MIN

F(Х12) = 38,2Х1 + 67Х2 MIN (1.11)

Требуется найти значения Х1 и Х2, удовлетворяющее заданным ограничениям (1.6) – (1.10) и обеспечивающее минимум целевой функции (1.11). Параметры Х1 и Х2 являются управляемыми параметрами математической модели. Решим данную задачу графо – аналитическим методом.

Вычисление для построения ограничений (1.6) – (1.8).

2,8Х1 + 0,6Х2 ≤ 250 2,8Х1 + 0,6Х2 = 250

Х2= (250 – 2,8Х1)/0,4

Х1    
Х2    

1,5Х1 + 0,5Х2 ≤ 210 1,5Х1 + 0,5Х2 = 210

Х2=(210 – 2,0Х1)/0,8

Х1    
Х2    

35Х1 + 65Х2 ≤ 800 35Х1 + 65Х2 = 820

Х2=(800 – 35Х1)/65

Х1    
Х2 11,7  

Направление допустимости ограничений (1.6) – (1.8) «вверх и вправо». Ограничение (1.9) – (1.10) – это оси координат, направление их допустимости «вправо и вверх». Для нахождения точки касания границы области допустимых значений (ОДР) прямой линии, определяющей целевую функцию, построим сначала произвольную прямую для целевой функции, приравняв ее выражение произвольному числу в пределах масштаба построения, например, к 1000.

12) = 37,8Х1 + 67Х2 = 1000

Х2= (1000 – 37,8Х1)/67

Х1   14,18
Х2 14,36  

Проведя прямую линию, параллельную данной линии F (линия F*), находим точку касания ее границы ОДР и обозначим т. В, которая является пересечением ограничений (1.8) и (1.9). Для нахождения координат т. В, решаем следующую систему уравнений:

37,8Х1 + 67Х2 =820

X1 = 0

Х1 опт = 0

Х2 = 14,36

Х2 опт = 14 (шт)

Максимальное значение целевой функции при оптимальных значений искомых параметров составит:

F*= 37,8*0 + 67*14 = 880 час.

Графически область допустимых значений изображена а Приложении 2 на рисунке 2.

НАХОЖДЕНИЕ ФИНАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДАННОГО АВТОМАТИЗИРОВАННОГО СТАНОЧНОГО КОМПЛЕКСА

Имеется автоматизированный станочный комплекс, состоящий из 18 каналов. Схема участка изображена в Приложении 4 на рисунке 4. В систему поступают для обработки детали в среднем через 0,535 часа (t3 = 0,535 ч.). Среднее время изготовления одной детали tоб=5 ч.

Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским.

На систему, находящуюся в состоянии Si – действует простейший поток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит перескок системы из Si в Sj (Si Sj).

Для нахождения финальных вероятностей построим размеченный граф (см. Приложение 3 на рисунке 3). Для наглядности на графе состояния системы на каждой дуге проставляют интенсивности того потока событий, который переводит систему по данной дуге (стрелке). Для наглядности λij – интенсивность потока событий, переводящие систему Si в Sj. Такой граф называется размеченным.

Аналогично вычисляется интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем дугам граф. Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, строится математическая модель данного процесса.

Если при поступлении заявки на изготовление детали все каналы заняты, то деталь направляется на участок таких же станков. Найдем финальные вероятности состояния системы и характеристики для данного АСК.

λ = 1,8 µ = 0,2

вероятность того, что все каналы свободны, определяется по зависимости:

Р0 = (2.1)

Р0 = (1 + )-1

Р0 = 0,000431

Вероятность того, что поступила одна заявка, определим как:

Р1 = Р0 = 0,000431 = 0,006

Вероятность того, что поступила две заявки, определим как:

Р2 = Р0 = 0,015

Вероятность того, что поступила три заявки, определим как:

Р3 = Р0 = 0,197

Вероятность того, что поступила четыре заявки, определим как:

Р4 = Р0 = 0,22

Вероятность того, что поступила пять заявок, определим как:

Р5 = Р0 = 0,185

Вероятность того, что поступила шесть заявок, определим как:

Р6 = Р0 = 0,16

Вероятность того, что поступила семь заявок, определим как:

Р7 = Р0 = 0,186

Вероятность того, что поступила восемь заявок, определим как:

Р8 = Р0 = 0,179

Вероятность того, что поступила девять заявок, определим как:

Р9 = Р0 = 0,145

Вероятность того, что поступила десять заявок, определим как:

Р10 = Р0 = 0,125

Вероятность того, что поступила одиннадцать заявок, определим как:

Р11 = Р0 = 0,088

Определим пропускную способность (среднее число заявок, обслуживаемых системой):

где n – число каналов.

Определим относительную пропускную способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

=

Определяем вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет систему не обслуженной):

=

Вычислим среднее число каналов (среднее число заявок, обслуживаемых одновременно) по зависимости:

шт.

В этой системе обрабатывается (92,32 % направляемых деталей). Имеется очень маленькая вероятность, что детали направляются для обработки на другие участки (Ротк = 0,2133). Одновременно в среднем работает в основном восемь каналов (К = 9,23).



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-07-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: