Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Содержание

Содержание. 2

Введение. 3

Глава 1. 5

1.1. Базовые понятия и факты.. 5

1.2. Простое расширение Q ⁺(a) 5

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. 7

Глава 2. Однопорожденные полуполя. 9

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел. 9

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом. 11

2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом. 12

2.4. Примеры.. 20

Литература. 22

Введение

Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа

Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.

Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.

В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.

Основными результатами работы являются:

· Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.

· Теорема 2.3.1. Если , то – поле тогда и только тогда, когда Q ⁺(-a²) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида .

· Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность задается следующим образом:

Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.

· Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Глава 1.

Базовые понятия и факты

Определение: Алгебра <P, +, ×> называется полуполем, если

(1) <Р, +> – коммутативная полугруппа с 0;

(2) <Р, ×> – группа с 1;

(3) Дистрибутивность

(4)

Не сложно показать, что Q ⁺ является полуполем.

Определение: Пусть Р – подполуполе полуполя F, , тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P (a).

1.2. Простое расширение Q ⁺(a)

Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q⁺ в качестве полутела.

Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент s Î S, что s + s ¹ s. Откуда

Рассмотрим суммы единиц. Через обозначим сумму k единиц (при k Î N). Так как любое полутело является антикольцом, то . Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что при некоторых натуральных m < n. Положим l=n-m Î N. Тогда . Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент , получим

Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь

для любого t Î N.

По свойству Архимеда, найдется такое t Î N, что tl > n. При k=tl имеем и n<k. Тогда

Откуда 1=1+1 (). Получили противоречие.

Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию N. Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q⁺, причем, очевидно, операции в Q ⁺ и S согласованы.

■

Теорема 1.2.2. - простое расширение полуполя Q ⁺.

Доказательство. Заметим, что Q ⁺(a) – полуполе. Кроме того, а Î Q ⁺(a). Это не сложно увидеть, взяв . Очевидно .

Предположим, что есть полуполе P меньшее Q ⁺(a), содержащее а и Q ⁺. Тогда оно содержит все выражения вида . Так как P – полуполе, то . Таким образом, . Так как P – минимальное полуполе, то . То есть, –простое расширение полуполя Q ⁺.

■

Аналогично доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.2.3. - простое расширение поля Q.

Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Пусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда .

Покажем, что любое равенство получается из , где . Заметим, что , так как а – корень , а – минимальный многочлен для a. Представим , где составлен из положительных одночленов многочлена h, а ‑ составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,