Теорема 2.3.1. Если 
, то 
– поле тогда и только тогда, когда Q +(-a2) – поле.
Доказательство. По теореме 2.1.1 Q +(ai) – поле равносильно существованию
f ¹0, f (ai)=0.
Так как все степени aiÎ Q +(ai). Рассмотрим некоторый многочлен
.
Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.
То есть,
Это верно тогда и только тогда, когда Q +(- a2) – поле.
Получили, что Q +(ai) – поле тогда и только тогда, когда Q +(-a 2) – поле. ■
Как следствие получаем более ценные утверждения.
Следствие 1. Если 
, то Q +(ai) – полуполе тогда и только тогда, когда Q +(-a2) – полуполе.
Следствие 2. Если 
и Q +(-b2) – полуполе, aÎ Q +(-b2), то Q +(a + bi) – полуполе.
Теорема 2.3.2. Пусть 
– комплексный корень квадратного трехчлена f(x) неприводимого над Q. Тогда 
– полуполе в том и только том случае, когда f(x) имеет положительный действительный корень.
Доказательство. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда 
, где D – дискриминант минимального соотношения.
Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид 
. Если b, c ≥ 0, то имеем многочлен из 
. Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда 
, 
. То есть 
. Если многочлен не имеет действительных корней, 
то
(*)
То есть, 
.
Рассмотрим 
.
При 
получаем многочлен из Q +[ x ]. Пусть 
. Введем обозначения:
, 
, 
,
, 
, 
.
Тогда многочлен примет вид 
. Умножим его на 
, получим многочлен 
. Если 
, то это искомый многочлен иначе умножим его на 
.
Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q +. Докажем, что найдется такие k, что 
. При этом 
. Для начала найдем дискриминант уравнения 
.
То есть, дискриминант Dl+1 имеет тот же знак, что и Dl. Так как D0 <0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант Dl <0.
Рассмотрим неравенство 
, подставим 
, 
. Получим
.
То есть,
.
Зная, что 
заметим
.
Итак, для доказательства нам достаточно установить, что
.
То есть,
.
Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство
.
Тогда
.
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что
.
Используя оценку 
и деля на положительный элемент 
, получаем
.
Обозначим 
. Рассмотрим отображение 
, заданное по правилу 
. При 
, 
. Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: 
. Откуда 
. Заметим, что 
. Последовательность 
стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что 
, а это следует из (*). Итак, мы доказали, что 
. То есть, мы нашли такой многочлен, 
, что 
. Итак, мы доказали, что если 
удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то 
– поле. ■
Следствие 1. Если – мнимый корень квадратного трехчлена, то ‑ поле.
Следствие 2. Любое простое расширение 
является полем 
, порожденным минимальным соотношением 2 степени.
Доказательство.
Заметим, что 
. Покажем, что для любого a Î Q найдется такой квадратный многочлен , что 
- его корень многочлена. Для этого достаточно представить 
. Возьмем такой 
, что 
, тогда 
. Очевидно, 
. Таким образом, нам удалось найти многочлен из . То есть, 
- поле. ■
Рассмотрим последовательность действительных чисел 
:
(**)
Будем говорить, что последовательность 
задается числами p и q.
Лемма 2.3.3. Существует n, что 
.
Доказательство. Пусть 
. Покажем, что последовательность 
убывающая.
,
то есть 
.
Пусть 
, тогда
Так как 
, то 
Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что 
, то есть 
- убывающая.
Так как - монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует 
. Тогда 
.
То есть, 
. Но тогда
,
,
что невозможно для 
. То есть, 
. ■
Лемма 2.3.4. Если 
, то существует 
, что 
.
Доказательство. Запишем а и b в виде десятичных дробей:
, 
Так как 
, то существует k, что 
и 
.
Тогда 
. Рассмотрим число 
.
То есть, 
. ■
Теорема 2.3.5. Если 
и 
, то
.
Доказательство. По лемме 2.3.3, 
. Пусть 
.
Если n=1, то 
. Рассмотрим 
.
То есть,
.
Так как . По лемме 2.3.4 
. Тогда
.
Рассмотрим n > 1.
Пусть 
.
Покажем, что 
Раскроем скобки и сгруппируем члены при xj.
То есть,
Заметим, что 
. Для существования 
, по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий 
и 
, то есть, 
. Обозначим 
. Так как 
, то 
и 
. Для существования 
достаточно доказать существование 
и 
. То есть, 
. Обозначим 
. Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что 
. По лемме 2.3.4, 
существует, если 
и 
. Эти условия следуют из того, что 
и 
.
Таким образом, доказано существование 
■
Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень 
, такой что 
и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида 
, где 
, последовательность (**), заданная числами p и q, содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида 
существует многочлен 
, что 
. Рассмотрим многочлен 
. 
так как 
и 
. Кроме того 
, а остальные множители многочлена 
имеют вид 
или 
. То есть, 
. Таким образом 
. По теореме 2.1.1, минимальный многочлен 
порождает поле. ■
Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел 
расширение 
, минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что – поле. Тогда существует многочлен f с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f (a')=0. Но 
. Значит a' – не является корнем многочлена f. То есть – полуполе. ■
Примеры
1. Рассмотрим 
. Оно удовлетворяет минимальному соотношению 
. По теореме 2.3.7, - полуполе. Аналогично доказывается, что 
– полуполе.
2. 
– полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.
3. Покажем, что 
– полуполе. Во-первых, заметим, что 
. Рассмотрим 
. По теореме 2.3.7, 
‑ полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1, – полуполе. 
. То есть, 
– полуполе.
4. 
, минимальное соотношение которого имеет вид 
, есть полуполе. Действительно, многочлен 
имеет положительный корень, а значит - полуполе.
Теперь приведем примеры полей.
5. 
является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид 
.
6. Пусть 
удовлетворяет минимальному соотношению 
. Его минимальный многочлен 
делит 
. То есть, 
– поле. Несложно видеть, что 
. Итак, 
.
7. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению 
. Тогда 
– поле.
8. Пусть 
, если 
, то – поле. Так как , то 
Если 
, то 
. Рассмотрим последовательность (**), порожденную p и q. 
. По теореме 2.3.7, – поле.
Литература
1. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000
2. Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.
3. Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.