Примеры нормированных пространств.




Министерство Образования Российской Федерации

 

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

 

Математический факультет

 

Кафедра математического анализа и МПМ

 

Выпускная квалификационная работа

 

Операторы проектирования.

Выполнил студент 5курса

математического факультета

Лежнин В.В.

/подпись/

 
 


Научный руководитель:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов А.К.

/подпись/

 
 


Рецензент:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Подгорная М.И.

/подпись/

 
 


Допущена к защите в ГАК

 

Зав. кафедрой М.В. Крутихина

/подпись/ << >>

Декан факультета В.И. Варанкина

/подпись/ << >>

 

 

Киров

Оглавление.

Введение. 2

Часть I. Основные понятия и предложения. 2

Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. 10

Часть III. Задача о дополняемости. 13

Литература. 15

Введение.

В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.

 

Часть I. Основные понятия и предложения.

Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.

Определение. Пусть d – метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.

Определение. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное вещественное число , именуемое нормой x, и выполняются следующие условия:

1. £ + "x, yÎX.

2. = "xÎX, "a - скаляра.

3. > 0, если x¹0.

 

 

Примеры нормированных пространств.

1) l - нормированное пространство, в котором элементы – последовательности комплексных чисел x=(x , …,x , …), удовлетворяющие условию <¥,

норма в таком пространстве определяется ;

2) L (0,1) - нормированное пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1), удовлетворяющее условию dx < ¥, и норма определена как = .

3) С [0, 2p] – пространство непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p]. Норма в нем определяется =

 

Определение. Пусть X, Y – два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию

A(ax +bx ) = aAx +bAx .

Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x области определения, если для любой окрестности V точки y = Ax существует такая окрестность U точки x , что Ax принадлежит V, как только x принадлежит пересечению области определения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке области определения.

Определение. Линейныйоператор, действующий изЕ в Е , называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.

Предложение 1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.

Доказательство.

Пусть М – подмножество ограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е не ограничено. Тогда в Е найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств АМ не содержится в V. То тогда существует такая последовательность х из М, что ни один из элементов Ах не принадлежит V, и получается, что х ® 0 в Е, но последовательность { Ах } не сходится к 0 в Е , а это противоречит непрерывности оператора А.

 

В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f из Е

.

Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается .

Определение. Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение P:X → X называется проектором в пространстве X, если , т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.

 

Свойства проекторов.

Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).

1. R(P) = N(I-P) = {xÎX, Px = x}, где I – тождественное отображение;

2. R(P)ÇN(P) = {0} и X = R(P)+N(P);

Доказательство 1.

а) Так как (I-P)P = IP- = P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);

б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);

Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).

Доказательство 2.

Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};

Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);

Определение. М – замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MÇN={0}, то говорят, что М дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств X=MÅN.

Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-06-03 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: