Дискретизация непрерывных сообщений

Представление аналогового сигнала в виде дискретной последовательности

аналоговый сигнал

Если на линии помеха, то она может исказить сигнал, и на приемной стороне получают недостоверную информацию. Кроме этого, работать с аналоговым сигналом, если он не имеет математического описания, трудно. С цифровым сигналом можно работать. Аналоговый сигнал представляется в виде дискретного сигнала.

Чем меньше Δt, тем точнее представление аналогового сигнала

Каждый уровень представляет собой сообщение, которое в свою очередь может быть представлено кодовой комбинацией.

Выяснить, какова максимальная погрешность представления сигналов при квантовании по уровням.

Дискретизация непрерывных сообщений

Сигнал можно дискретизировать (квантовать) по уровню и по времени.

Из всех возможных способов представления сигнала в практике нашли применение 2 метода:

1. Представление сигнала преобразованием Фурье, т.е. периодический сигнал функции времени может представляться в виде ряда Фурье (в виде спектра), и непериодический сигнал может представляться интегралом Фурье.
2. Представление сигнала по методу Дюамеля заключается в том, что сигнал раскладывается на последовательность единичных импульсов δ(t)

,

т.е. сигнал может быть представлен набором этих импульсов с разными амплитудами.

В 1933 г. появилась третья форма представления сигнала, предложил ее академик Котельников.

Данный способ заключается в представлении сигнала в виде суммы ординат этого сигнала, отстоящих друг от друга на некотором временном интервале. Временной интервал определяется в соответствии с теоремой Котельникова (Котельникова-Шеннона).

Теорема формулируется следующим образом:

Любую функцию времени x(t), состоящую из частот от 0 до F_c, можно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через секунд, т.е. Котельников доказал, что .

В результате этого для передачи любого сигнала требуется во времени число отсчета.

Это произведение называется базой сигнала.

Теорема Котельникова еще называется теоремой отсчета. Доказывается эта теорема разложением сигнала в ряд следующего вида:

, где

k – количество отсчетов.

Физический смысл ряда: величина U_c(k·Δt), k = 1,2,3,… есть отсчеты функции в моменты времени Δt, 2Δt, 3Δt и т.д., причем в момент времени t = 0 sinc функция = 1. Во всех остальных случаях, т.е. в момент времени она обращается в 0.

Следовательно, sinc функция полностью определяет все ординаты сигнала с учетом их соответствующего сдвига во времени. Sinc функция – это спектр одиночного импульса.

2. Второй способ заключается в дискретизации непрерывного сигнала с последующим его восстановлением на приемной стороне по принятым дискретным значениям.

Для передачи информации вторым способом осуществляется ее дискретизация во времени. Значительная доля непрерывных сигналов, снимаемых с выходов датчиков, контролирующих некоторый технологический процесс имеет ограниченный частотный спектр. Например, сигнал имеет следующее временное представление (рис.1,а). Это первая форма представления сигнала. Согласно теореме Фурье такой сигнал является суммой многих гармонических колебаний, причем каждое гармоническое колебание имеет свой энергетический вклад на определенной частоте. Таким образом, непрерывный сигнал можно представить в виде частотного спектра (рис.1,б). В принципе любой непрерывный сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле можно представить в виде Фурье – преобразования (Фурье – ряда):

,

где

- среднее значение (постоянное составляющее);

X_k – амплитуда k-ой гармоники сигнала;

F_k=k∙F=k/T, k=1,2,3,…- частота k-ой гармоники.

Если считать, что T стремится к бесконечности, то каждый сигнал можно считать периодическим, а значит разложимым в ряд Фурье.

Так вот, если сигнал имеет ограниченный частотный спектр, а это обусловлено как исходными измеряемыми физическими процессами, так и ограниченной полосой пропускаемых частот отдельными устройствами датчика. То к таким сигналам применима теорема отсчетов Котельникова (~1947г.) или встречающееся название теорема Котельникова – Шеннона.

В соответствии с теоремой функция с ограниченным спектром однозначно определяется набором своих дискретных значений, отсчитанных с временным интервалом.

где F_c- ширина спектра сигнала; _c – частота среза функции. Частоту 2F_c называют частотой Найквиста. Таким образом, непрерывный сигнал можно представить в виде отдельных дискретных значений (отсчетов), что показано на рис.2. Причем значения функции X(t), удовлетворяющей условиям Дирихле в любой момент времени t выражается формулой

где x(k∆t) – значения (отсчеты) непрерывной функции x(t) в дискретные моменты времени t=1∆t; 2∆t;…;k∆t.

Из выражения следует, что x(t) может быть теоретически представлен бесконечно большим числом дискретных отсчетов x(k∆t), умноженных на величину функции

При k=1 функция φ(t) имеет следующий вид

При t = ∆t, φ(t) = 1 и при других значениях t = 2∆t и т.д. φ(t) = 0. На интервале времени [0, 2∆t] функция аналогична характеристики реального голосового фильтра, на вход которого подан прямоугольный импульс. Следует заметить также, что преобразование Фурье одиночного прямоугольного импульса длительностью T/2 есть

Таким образом, значение функции x(t) во временной области между отсчетными точками можно определить путем интерполяции с использованием функции sin2πF_c/2πF_c. С помощью этой интерполяционной функции действительный сигнал с ограниченным спектром может быть точно восстановлен по бесконечному числу известных временных отсчетов k∆t.

Чтобы физически реализовать функцию φ(t) необходимо на вход идеального фильтра подать бесконечно короткий импульс, что реально неосуществимо.

На практике примерно реализуется следующая блок-схема:

Число участков аппроксимации (интерполяции) определяется ∆t.

Основные трудности, встречающиеся при практической реализации схемы следующие:

· Не удается обеспечить формирование бесконечно коротких по длительности импульсов;

· Отсутствие линии связи для передачи очень коротких по длительности импульсов (F_c≈1/τ_н); невозможность создания идеального фильтра.

Строго говоря, любая функция с ограниченным спектром неограниченного во времени (нефинитна) и, наоборот, финитная функция времени имеет неограниченный спектр. Практический способ ограничения функции по спектру сводится к пропусканию сигнала через фильтр нижних частот (или полосовой фильтр).

Полагая, что одновременно ограничен спектр сигнала полосой F_c, а его длительность интервалом T_c используют усеченный ряд Котельникова для приближенного представления сигнала

В этом выражении B = T_c/∆t+1 = 2 F_cT_c+1 – число отсчетов приближенно описывающих финитный сигнал x(t). При 2 F_cT_c>>1 можно записать, что

B=2 F_cT_c

И это число называют базой сигнала.

Полные и усеченные ряды Котельникова могут быть использованы для представления как детерминированных, так и случайных сигналов. В последнем случае коэффициенты рядов являются случайными величинами, а, следовательно, можно оперировать вероятностными характеристиками.

На приемной стороне воспроизведение сигнала x(t) может быть осуществлено и путем формирования ступенчатой функции. В этом случае средний квадрат ошибки воспроизведения равен:

Недостатком передачи сигнала в виде отдельных импульсов, имеющих амплитудный признак является низкая помеха устойчивости. Если в линии связи есть помеха, то на приемной стороне амплитудный признак может быть искажен. Поэтому в чистом виде теорема Котельникова для передачи сигналов не используется. Введем кроме дискретизации по времени и дискретизацию по уровню, применив так называемую детерминированную сетку квантования по амплитуде и обозначим шаг квантования δ.

В результате получим M уровней квантования

На приемной стороне сигнала приписывается значение ближайшего уровня. Например, в момент времени t₁ x(t)=4δ=M₄. А в момент времени t₄ x(t₄)=6δ=M₆; Но в момент времени t₆ x(t₆)= 6δ или может быть равен 7δ. Как видно максимальная ошибка произведения равна ε=0,5 δ. Такой способ передачи несколько повышает помехоустойчивость.