Темы: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Задание 1. Тема: Пределы функций.

Основные теоремы о пределах.

Т1. .

Т2. . , .

, .

Т3. при .

Основные пределы

1. , .

2. Первый замечательный предел: .

3. Второй замечательный предел: , .

, , ,

, , .

Пример.1 Найти пределы:

Основные эквивалентности:

Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными при , если . Обозначение ~ .

Так, например, ~ , т.к. , ~ , т.к. .

	~ при		~ при
	~ при		~ при
	~ при		~ при
	~ при		~ при
	~ при		~ при
	~ при		~ при
	~ при		~ ,

Вычисление пределов.

Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке в функцию предельного значения аргумента, т.е. . Более сложными являются случаи нахождения пределов функций, где присутствуют неопределенности.

1. «неопределенность вида ». Делим числитель и знаменатель на - максимальную степень.

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3. .

Таким образом, если функция под знаком предела представляет собой отношение многочленов , то:

1) , если ;

2) , если ;

3) , если . Здесь и - коэффициенты при старших членах многочленов и соответственно.

Так же вычисляются пределы от иррациональных функций.

2. «неопределенность вида ». Для вычисления предела необходимо выделить в числителе и знаменателе дроби бином при , с целью сокращения дроби на множитель, стремящийся к нулю.

Пример 4. .

Пример 5. . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители

Пример 6. .

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на .

Вообще, если находится предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в нуль в предельной точке , то согласно теореме Безу оба многочлена разделятся без остатка на , т.е. такую дробь всегда можно сократить на .

Пример 7. Найти: . Разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на :

Пример 8. . Умножим числитель и знаменатель на произведение выражений, сопряженных числителю и знаменателю, и затем сократим дробь на :

Пример 9. . Сделаем замену переменной: при . Имеем

3. «неопределенность вида ». Необходимо перейти к неопределенности вида или .

Пример 10.

4. «неопределенность вида ». Переход к или .

Пример 11.

5. «неопределенность вида ». Необходимо использовать формулу второго замечательного предела или, для более сложных случаев, формулу

(*)

Пример 12. . Используем формулу (*).

Пример 13. . Используем формулу (*).

Задание 2. Тема: Непрерывность функции в точке.

Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) она определена в этой точке;

2) $ ; и 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.

. (1)

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называетсяразрывной в точке . Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва.

Различают два вида точек разрыва для функции :

І.Точка разрыва первого рода – точка , в которой существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и , причем, если:

а) , то называется точкой устранимого разрыва;

б) , то называется точкой конечного разрыва, при этом величину называют скачком функции.

ІІ. Точка разрыва второго рода – точка , в которой, по крайней мере, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности (бесконечный разрыв).

Пример 1. Функция в точке имеет бесконечный разрыв (второго рода), т.к. , при этом в точке функция не определена.

Вспомним понятия односторонних пределов:

О. Если стремится к пределу при так, что принимает только значения, меньшие , то называют пределом функции слева в точке ,если же стремится к пределу при так, что принимает только значения, большие , то называют пределом функции справа в точке .

У нас функция при , т.к. . И функция при , т.к. .

Пример 2. Функция в точке имеет конечный разрыв (первого рода), так как , при этом функция определена всюду, кроме точки . Скачек функции в этой точке равен 2-(-2)=4. Рисунок:

0 1

-2

Задание 3. Тема: Производная функции.

Основные правила дифференцирования

Пусть функции и - две дифференцируемые в некотором интервале функции.

1. .

2. , , .

3. .

4. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле .

Производные основных элементарных функций.

1. , ,

2. ,

3. ,

4. , , ,

5. , , ,

6. , , ,

Дифференцирование неявных функций

Функция, заданная уравнением , не разрешенным относительно , является неявно заданной функцией аргумента . Для нахождения производной функции достаточно:

1) продифференцировать обе части равенства по переменной , (, а производная от равна );

2) полученное уравнение разрешить относительно .

Пример 1. Найти , если .

Пример 2. Найти , если .

Дифференцирование параметрически заданных функций

Функция , заданная параметрически имеет вид

где - вспомогательная переменная (параметр), а функции и дифференцируемы по . Производные первого и второго порядка находятся по формулам:

и соответственно.

Пример 3. Найти функции .

- производная первого порядка.

Тогда - производная второго порядка.

Логарифмическое дифференцирование (ЛД)

Дифференцирование многих функций значительно упрощается, если их предварительно прологарифмировать.

ЛД полезно применять, когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). Кроме того, существуют функции, производные которых находят только лишь через операцию логарифмирования, например, показательно-степенная функция , где и - дифференцируемые функции от .

Найдем производную этой функции. Дифференцируем обе части равенства по основанию :

, или .

Теперь дифференцируем обе части равенства

, Þ или .

Пример 3. Найти производные следующих функций:

а) ; б) ; в) .

а) , Þ , Þ ,

Þ , Þ - окончательный ответ.

б) , Þ , Þ

, Þ , Þ

- окончательный ответ.

в) , Þ , Þ , Þ , Þ

- окончательный ответ.

Примеры вычисления производных.

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

Задание 5. Тема: Правило Лопиталя.

Т1. ( Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида ). Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке, т.е. . Пусть в окрестности точки . Тогда, если существует предел , то

Т2. ( Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида ). Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой точки ) и в этой окрестности . Тогда, если существует предел (), то

Пример 1. Вычислить .

Пример 2. Вычислить .

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 4. . Выведем формулу, удобную для применения в таком случае. Пусть . Логарифмируем: , Þ , откуда . Тогда

. (*)

Пример 4. . . Используем формулу (*).

Формула (*) применяется и для случаев неопределенности вида , .

Задание 6. Тема: Исследование функций и построение графиков.

Общее исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:

I. Область определения функции.

II. Элементы симметрии графика функции:

а) четность, нечетность; б) периодичность.

III. Непрерывность:

а) интервалы непрерывности;

б) поведение функции на границах интервалов непрерывности;

в) точки разрыва функции.

IV. Нули функции и интервалы знакопостоянства функции.

V. Асимптоты графика функции:

а) вертикальные; б) горизонтальные; в) наклонные.

VI. Экстремумы:

а) нахождение точек возможного экстремума (ТВЭ);

б) интервалы возрастания и убывания функции;

в) максимум, минимум функции.

VII. Выпуклость, вогнутость:

а) нахождение точек возможного перегиба (ТВП);

б) интервалы выпуклости и вогнутости функции;

в) точки перегиба.

VIII. Табуляция (дополнительные точки, минимум 20 точек).

IX. График функции.

X. Множество значений функции (по графику).

Пример. Исследовать и построить график функции .

I. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки .

II. В точке функция имеет бесконечный разрыв: и . Во всех других точках числовой оси функция непрерывна.

III. функция общего положения, т.е. график не имеет симметрии. Функция непериодическая.

IV. Находим точки пересечения с осями координат:

а) с осью : , ;

б) с осью : , нет точек пересечения с осью ,

Таким образом, график функции пересекает ось в точке и не пересекает оси .

Слева от точки разрыва, при , ; между точкой разрыва и точкой пересечения с осью , при , ; справа от точки пересечения с осью , при , .

V. Асимптоты.

а) , прямая является вертикальной асимптотой;

б) , горизонтальных асимптот нет;

в) , , - наклонная асимптота.

VI. . , Þ - ТВЭ; - не существует в точке , но эта точка не является ТВЭ, т.к. она является точкой разрыва.

Слева от точки минимума при , - функция убывает, между точкой минимума и точкой разрыва при , - функция возрастает; справа от точки разрыва при , - функция убывает.

VII. ; ; не существует при , но этаточка не может быть точкой перегиба, т.к. она является точкой разрыва. Следовательно, график функции не имеет точек перегиба. Во всей области определения функции , поэтому ее график всюду обращен выпуклостью вниз (вогнут).