35. Экстремумы функции нескольких переменных. Опр: функция 
имеет max в точке 
если f 
> 
. Для всех точек 
близких к точке 
и отличных от нее. Опр: функция имеет min в точке если f < . Для всех точек близких к точке и отличных от нее. Необходимое условие экстремума: если функция достигает экстремума при x= 
и y= 
то каждая частная производная первого порядка или обращается в 0 при этих значениях или не существует. Достаточное условие экстремума: Пусть в некоторой области содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно и пусть точка 
является критической точкой функции, то есть 
=0; 
=0. Существуют следующие равенства: А= 
; В= 
; С= 
тогда при x= и y= : 1. Если А*С- 
>0, А<0 то в точке существует max. 2. Если А*С- >0, А>0 то в точке существует min. 3. Если А*С- =0, то в точке экстремум может быть, а может и не быть. 4.. Если А*С- <0, то в точке экстремума нет.
36. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Опр: Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке если она является касательной к какой либо кривой лежащей на поверхности и проходящей через данную точку. Через данную точку может проходить бесконечное число различных кривых лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности проходящих через данную точку будет бесконечное множество. Опр: Если в точке 
все три частные производные 
; 
; 
; равны 0 или хотя бы одна их этих производных не существует, то точка называется особой точкой поверхности, в противном случае она называется обыкновенной точкой. Опр: Касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости которая называется касательной плоскостью и имеет уравнение: 
(х- 
+ 
(
)+ 
). В особых точках касательная к плоскости может не существовать. Опр: прямая проведенная через данную точку поверхности перпендикулярную касательной плоскости называется нормалью. Уравнение нормали: 
= 
= 
37. Скалярное поле. Производная скалярного поля в заданном направлении. Градиент. Опр: Скалярное поле – это множество точек в которых задана скалярная функция, то есть функция значениями которой являются числа. Поле называется плоским если точки заданы на плоскости, и пространственным если точки заданы в пространстве. U=U 
– плоское, U=U 
- пространственное. Опр: Линиями или поверхностями уровня скалярного поля называются линии или поверхности в точках которых поле принимает постоянное значение. U 
- линии уровня. U = С – поверхности уровня. Производная скалярного поля по направлению: опр: Производной скалярного поля в заданном направлении называется предел отношения величины изменения поля в этом направлении к расстоянию, когда расстояние стремится к 0. 
= 
+ 
+ α 
+β 
= 
+ 
, , М(x; y). Производная пространственного поля: 
= + + 
. Определение градиента: вектор 
+ 
+ 
называется grad скалярного поля U(M) в точке М(x; y; z). grad U(M)= 
+ 
+ 
38. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Геометрический смысл. Опр: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (а;в) если во всех точках этого промежутка выполняется равенство F(x)= f(x). Теорема(основное свойство первообразной): если функция имеет первообразную то все другие первообразные отличаются от нее только на произвольную постоянную, то есть если F(x) – первообразная для f(x), то существует Ф(x) = F(x)+ с. Доказательство: если F'(x)= f(x) пусть существует другая первообразная Ф(x), тогда по определению Ф'(x)= f(x).(Ф(x)- F(x))' = Ф'(x)- F'(x)= f(x)- f(x)=0↔ Ф(x)- F(x) = с, с- const. Ф(x)= F(x) + с. Опр: Неопределенным интегралом функции называется все множество первообразных этой функции. 
= F(x)+ с. Геометрически неопределенный нтеграл представляет собой семейство кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной кривой параллельно самой себе вверх или вниз вдоль оси y.