Таблица интегралов
1. | |
2. | |
3. | |
4. | |
5. | |
6. | |
7. | |
8. | |
9. | |
10. | |
11. | |
12. | |
13. | |
14. | |
Таблица производных
1. Степенная функция: | |
2. Показательная функция: | |
3. Логарифмическая функция: | |
4. Тригонометрические функции: | |
5. Обратные тригонометрические функции: | |
6. Гиперболические функции | |
Свойства интегралов
1.
2.
3.
4.
5.
Правила интегрирования
1.
Если числитель подынтегральной дроби-производная знаменателя, то интеграл равен натуральному логарифму модуля знаменателя.
2.
Если числитель подынтегральной дроби-производная подкоренного выражения квадратного корня, стоящего в знаменателе, то такой интеграл равен двум таким корням.
3. Если известно, что , то
1)
2)
3)
Например: ,
. .
Интегрирование по частям:
Подынтегральное выражение | u | dv |
Тогда ,
Интегрирование простейших дробей
I.
II.
III.
1) выделить в знаменателе полный квадрат;
2) ввести линейную подстановку;
3) поделить почленно
Интегрирование рациональных дробей.
1. Если дробь неправильная (степень числителя больше или равна степени знаменателя) выделить целую часть с помощью деления уголком. Если дробь правильная, то сразу перейти к пункту 2.
2. Разложить правильную рациональную дробь на простейшие дроби:
1) Разложить на простейшие множители знаменатель. Простейшие множители-линейные вида и квадратичные с дискриминантом меньше 0.
2) В зависимости от разложения знаменатель разложить дробь по правилу:
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
3. Проинтегрировать сумму простейших дробей (см выше)
Интегрирование тригонометрических функций:
Универсальная тригонометрическая подстановка
,
2. Если функция нечетна относительно синуса, то подстановка ;
3. Если функция нечетна относительно косинуса синуса, то подстановка ;
4. Если функция четна относительно синуса косинуса, то подстановка
,
5.
1) Если хотя бы одна из степеней нечетна, то:
-отделить от нечетной степени один множитель;
-оставшуюся четную степень выразить через кофункцию из основного тригонометрического тождества ;
-ввести подстановку: кофункцию обозначить за новую переменную.
2) Если обе степени четные. то следует применить формулы понижения степени:
3) Если сумма степеней четная отрицательная, то подстановка
Интегрирование иррациональных выражений
1. Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней из одного и того же выражения, то в это выражение следует обозначить за новую переменную в степени равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.
2. : выделить под корнем полный квадрат, ввести линейную подстановку, почленно разделить при необходимости, в результате получатся табличные интегралы или сводящиеся к табличным.
3. ; : подстановкой интеграл сводят к виду 2.
4.
интеграл | подстановка | |
5. : выделением полного квадрата и введением линейной подстановки интеграл сводят к одному из интегралов п.4