Математика, 8 класс
Кармакова Тамара Сергеевна
Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля
Предлагаемые материалы предназначены учащимся 8 классов общеобразовательных учреждений и содержат определение понятия модуля числа, свойства модуля, способы решения уравнений с модулем и текст контрольной работы по указанной теме.
Модуль и его свойства
Введем определение модуля числа.
Определение. Модулем числа 
называется такое число 
, которое равно самому числу , если оно является неотрицательным и противоположному числу для числа , если число – отрицательное.
Символически это записывается так:
Примеры:
, т.к. 3,4>0;
, т.к. –7<0;
, т.к. 
<0;
, т.к. 
<0.
Перечислим свойства модуля числа:
1) 
2) 
;
3) 
;
4) 
, 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
.
Способы решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.
Способы решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля, зависят от вида уравнений. Рассмотрим различные виды таких уравнений и способы их решения.
1. Уравнения вида 
.
Это уравнение имеет решение только при условии 
.
По определению модуля данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
Примеры.
1.1. Решить уравнение: 
.
Решение: По определению модуля получаем совокупность двух линейных уравнений:
Ответ: 
.
1.2. Решить уравнение: 
.
Решение: По определению модуля уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
Ответ: 
2. Уравнения вида 
По определению модуля данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:
1) 
2) 
Так как функция 
четная, то ее корни будут существовать парами противоположных чисел, т.е. если 
– корень данного уравнения, то и 
также корень данного уравнения. Следовательно, достаточно решить одну из двух смешанных систем, добавив в ответ к полученным корням им противоположные значения.
Примеры.
2.1. Решить уравнение: 
Решение: Рассмотрим систему:
.
Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и –3.
Ответ: 
2.2. Решить уравнение: 
.
Решение: Рассмотрим систему:
Корнями уравнения 
являются числа 
и 
из которых условию 
удовлетворяет 
Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 7 и –7.
Ответ: 
3. Уравнения вида 
Данное уравнение по определению модуля распадается на совокупность двух смешанных систем:
1) 
2) 
Примеры.
3.1. Решить уравнение: 
Решение: По определению модуля данное уравнение равносильно совокупности следующих смешанных систем:
1) 
| 2) 
|
Ответ: 
3.2. Решить уравнение: 
Решение: Решить следует две смешанные системы:
1) 
| 
|
Ответ:
4. Уравнения вида 
Такие уравнения решаются по следующему плану:
1) Находят значения 
, при переходе через которые меняется знак выражений 
т.е. 
, 
, 
,..., 
.
2) Отмечают найденные значения , 
,..., 
на числовой прямой, пусть для определенности 
3) Рассматривают данное уравнение последовательно на промежутках: 
.
На каждом промежутке получается некоторое линейное уравнение, которое решают и в ответ отбирают те значения корней, которые содержатся в соответствующих промежутках.
Примеры
4.1. Решить уравнение: 
.
Решение:
1) 
 |
2)
3) a) 
.
b) 
с) 
корней нет.
Ответ: 
4.2. Решить уравнение: 
Решение:
1) 
2)
 |
3) а) 
.
б) 
корней нет.
в) 
.
г) 
корней нет.
Ответ: 
Примечание. Аналогично решаются и уравнения, содержащие под знаком модуля нелинейные зависимости.
5. Уравнения вида 
В соответствии с определением модуля данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) 
2) 
Можно, используя свойство модуля 
заменить решение данного уравнения решением уравнения 
.
Примеры.
5.1. Решить уравнение 
.
Решение: Заменим данное уравнение совокупностью двух уравнений:
1) 
; 2) 
;
; 
;
, 
; 
.
Ответ: , 
, 
.
5.2. Решить уравнение 
.
Решение: Используя свойство модуля числа, заменим данное уравнение уравнением
;
,
,
,
, 
.
Ответ: 
, 
.