Математика, 8 класс
Кармакова Тамара Сергеевна
Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля
Предлагаемые материалы предназначены учащимся 8 классов общеобразовательных учреждений и содержат определение понятия модуля числа, свойства модуля, способы решения уравнений с модулем и текст контрольной работы по указанной теме.
Модуль и его свойства
Введем определение модуля числа.
Определение. Модулем числа называется такое число , которое равно самому числу , если оно является неотрицательным и противоположному числу для числа , если число – отрицательное.
Символически это записывается так:
Примеры:
, т.к. 3,4>0;
, т.к. –7<0;
, т.к. <0;
, т.к. <0.
Перечислим свойства модуля числа:
1)
2) ;
3) ;
4) , ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) .
Способы решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.
Способы решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля, зависят от вида уравнений. Рассмотрим различные виды таких уравнений и способы их решения.
1. Уравнения вида .
Это уравнение имеет решение только при условии .
По определению модуля данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
Примеры.
1.1. Решить уравнение: .
Решение: По определению модуля получаем совокупность двух линейных уравнений:
Ответ: .
1.2. Решить уравнение: .
Решение: По определению модуля уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
Ответ:
2. Уравнения вида
По определению модуля данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:
1) 2)
Так как функция четная, то ее корни будут существовать парами противоположных чисел, т.е. если – корень данного уравнения, то и также корень данного уравнения. Следовательно, достаточно решить одну из двух смешанных систем, добавив в ответ к полученным корням им противоположные значения.
Примеры.
2.1. Решить уравнение:
Решение: Рассмотрим систему:
.
Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и –3.
Ответ:
2.2. Решить уравнение: .
Решение: Рассмотрим систему:
Корнями уравнения являются числа и из которых условию удовлетворяет
Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 7 и –7.
Ответ:
3. Уравнения вида
Данное уравнение по определению модуля распадается на совокупность двух смешанных систем:
1) 2)
Примеры.
3.1. Решить уравнение:
Решение: По определению модуля данное уравнение равносильно совокупности следующих смешанных систем:
1) | 2) |
Ответ:
3.2. Решить уравнение:
Решение: Решить следует две смешанные системы:
1) |
Ответ:
4. Уравнения вида
Такие уравнения решаются по следующему плану:
1) Находят значения , при переходе через которые меняется знак выражений т.е. , , ,..., .
2) Отмечают найденные значения , ,..., на числовой прямой, пусть для определенности
3) Рассматривают данное уравнение последовательно на промежутках: .
На каждом промежутке получается некоторое линейное уравнение, которое решают и в ответ отбирают те значения корней, которые содержатся в соответствующих промежутках.
Примеры
4.1. Решить уравнение: .
Решение:
1)
2)
3) a) .
b)
с) корней нет.
Ответ:
4.2. Решить уравнение:
Решение:
1)
2)
3) а) .
б) корней нет.
в) .
г) корней нет.
Ответ:
Примечание. Аналогично решаются и уравнения, содержащие под знаком модуля нелинейные зависимости.
5. Уравнения вида
В соответствии с определением модуля данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) 2)
Можно, используя свойство модуля заменить решение данного уравнения решением уравнения .
Примеры.
5.1. Решить уравнение .
Решение: Заменим данное уравнение совокупностью двух уравнений:
1) ; 2) ;
; ;
, ; .
Ответ: , , .
5.2. Решить уравнение .
Решение: Используя свойство модуля числа, заменим данное уравнение уравнением
;
,
,
,
, .
Ответ: , .