Проинтегрировать обе части полученного равенства.

Дифференциальные уравнения.

Тема урока: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Цели урока:

- помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

- помочь овладеть методами решения ДУ;

- отработать навыки решения дифференциальных уравнений первого

порядка.

План урока:

1. Объяснение нового материала.

2. Закрепление изученного материала.

3. Информация о домашнем задании.

Ход урока

1. Объяснение нового материала:

Мотивация: Решить уравнение: у^'=2х.

Что содержит данное уравнение?

у^'=2х.- дифференциальное уравнение (ДУ).

Дифференциальные уравнения (ДУ) обычно кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении многим студентам, но на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО.

Теоретическая часть:

Определение 1:

Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.

Определение 2:

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.

Примеры:

ху^'+у=0- дифференциальное уравнение первого прядка.

- дифференциальное уравнение 2-го порядка.

у^'''-2у=х- дифференциальное уравнение третьего порядка.

Определение 3:

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций

y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению.

Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Определение 4:

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у') = 0 между независимой переменной х, искомой функцией у и еѐ производной.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

Определение 6

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Определение 8: Задача, в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х₀)=у₀, называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши(1789-1857)- французский математик).

Пример 1. у^'=2х. С чего начать решение?

,

На втором шагесмотрим, нельзя ли разделить переменные?

Разделим переменные

,

- общее решение

2) При х= 2, у=5, тогда

5= , 5= 4+с, получим

с= 1, следовательно,

- частное решение.

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями с разделенными переменными

Определение 9-1: Линейное уравнение первого порядка – это уравнение вида:

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:

Определение 10: Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то уравнение неоднородное

Для решения этого уравнения необходимо:

1. Переписать производную

2.разделить переменные;

проинтегрировать обе части полученного равенства.

Пример2: Решить дифференциальное уравнение

Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.

Определение 11

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

Используем свойство логарифмов