Будем искать оператор поворота в виде
Будучи примененным к вектору A, этот поворот должен дать действительное число:
Несложно видеть, что этому уравнению удовлетворяет решение
Или, иначе говоря, сам вектор A и задает оператор поворота, на который следует его повернуть, чтобы получить действительное число.
Применив этот оператор поворота к вектору B, получим:
И для того, чтобы получить проекцию, следует взять действительную часть вектора B’ и провести соответствующую нормировку, поскольку указанным поворотом мы исказили величину модуля вектора B.
К числу весьма важных свойств скалярного произведения относится:
Поэтому, стремясь найти для гиперкомплексных чисел полную аналогию скалярному произведению, мы не будем использовать нормировок. В этом случае определенное выше правило выглядит как:
И для случая A = B переходит в
Перечислим еще раз свойства скалярного произведения в классическом варианте и найдем соответствия им в случае гиперкомплексных чисел:
1) 
, причем (x,x) только при x = 0
2) (x,y) = (y,x)
3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число
4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)
Для первого свойства вышеприведенное правило построения проекции не подходит, поскольку
Поскольку даже для тех алгебр, для которых 
может быть отрицательным числом, число 
всегда положительно, но исключение составляет условие
(x,x) = 0 только при x = 0
Тут следует сделать оговорку, что в гиперкомплексных алгебрах случай идеалов вовсе не является исключением, поэтому для скалярной проекции гиперкомплексных чисел вполне возможно снять это условие и разрешить
при 
Рассмотрим второе свойство скалярного произведения
(x,y) = (y,x)
В случае построения аналогии в нашем случае следует доказать, что
|
|
Для этого докажем промежуточные равенства:
a) 
b) 
Для доказательства равенства a) рассмотрим коэффициенты таблицы произведения мнимых единиц в алгебрах Кэли - Диксона:
где через 
обозначены мнимые единицы гиперкомплексной алгебры, 
- коэффициенты произведений. Для всех гиперкомплексных алгебр Кэли - Диксона, определенных подобной таблицей произведений, выполняется
при 
Таким образом, в произведении 
в действительной части 
будут присутствовать только четные степени 
при 
, а нечетных не будет.
Обозначив через 
элемент алгебры, алгебраически сопряженный элементу X, а через 
- сопряжение путем смены знаков у всех коэффициентов при мнимых единицах, получим:
Сопряжение еще можно назвать фазовым сопряжением, поскольку сопрягается фаза числа. Поскольку выражение для 
определено в виде полиномиального ряда, то в 
будут входить только четные функции от мнимых компонентов фазы числа X. Поскольку функции четные, например ch или cos, то действительная часть 
при алгебраическом сопряжении не меняется:
Для доказательства промежуточного равенства b) рассмотрим также таблицу произведений мнимых единиц алгебр Кэли - Диксона:
Поскольку раскрыв произведение ab мы получим гиперкомплексное число, рассмотрим образование его действительной части. В нее входят:
- произведение действительных частей a и b.
- произведение одинаковых мнимых компонентов a и b.
Поскольку для алгебр Кэли - Диксона нельзя получить действительного числа из произведений
при
а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно,
|
|
Для доказательства соответствия предложенной формы скалярной проекции второму свойству скалярного произведения просто преобразуем выражение:
Таким образом, если скалярному произведению (x,y) сопоставлять 
, то правило коммутативности скалярного произведения выполняется.
Соответствие предлагаемой формы скалярной проекции третьему свойству скалярного произведения проверяется непосредственно: если k - действительное число, то
, поэтому
Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим:
(x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x)
Распишем скалярную проекцию:
Поскольку для алгебр Кэли - Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:
Таким образом, введенная нами форма скалярной проекции соответствует четвертому свойству скалярного произведения:
