Практическая работа №19.
Тема: Уравнение окружности, сферы, плоскости
| Цель:повторение и закрепление знаний по данной теме Методические материалы: | ||
1.Общее уравнение прямой имеет вид:  , где  – некоторые числа. При этом коэффициенты  одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.
2. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору:
Если известна некоторая точка  , принадлежащая прямой, и направляющий вектор  этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле:
Иногда его называют каноническим уравнением прямой.
3. Общее уравнение плоскости:
Общее уравнение плоскости имеет вид  , где коэффициенты одновременно не равны нулю.
4. Уравнение плоскости по трём точкам:
Любые ли три точки пространства задают плоскость? Нет. Во-первых, точки должны быть различными. А во-вторых, они не должны лежать на одной прямой (сразу все три).
Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки  , которые не лежат на одной прямой, можно составить по формуле:
5. Уравнение поверхности сферы:
Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени.
x 2+ y 2+ z 2= R 2 (R – радиус сферы)
Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.
(R - радиус сферы; a, b, c - смещение центра сферы относительно центра координат)
Пример: Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1). |
Решение.
По уравнению 
полагая в нем x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 = 1 (без разницы, какую точку считать первой, какую - второй), получим
или 
после упрощений получаем окончательно искомое уравнение в виде x + 3 y - 5 = 0.
Применение изученного материала к решению заданий
Задача 1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
Задача 2. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
Задача 3. Найти центр и радиус сферы (х + 4)2 + (y — 3)2 + z 2 =100.
Задача 4. Доказать, что уравнение
х 2 + у 2 + z 2 — 2 х + 4 у — 6 z + 5 = 0
является уравнением сферы.
Задача 5. Составить уравнение плоскости по точкам 
.
Задача 6. Составить уравнение прямой по точке 
и направляющему вектору 
Задача 7. Составить уравнение прямой по точке 
и направляющему вектору 
Задача 8. Составить уравнение прямой по точке 
и направляющему вектору 
.
Задача 9. Составить уравнение прямой по двум точкам 
.
Ответы (один из вариантов решений):
Задача 1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
Решение: Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение
х 2 + у 2 + z 2 =R2 получим х 2 + у 2 + z 2 = 25.
Задача 2. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
Решение: Подставив значение координат точки С и значение радиуса в уравнение
(x — a)2 + (y — b)2 + (z — c)2 = R2 получим
(x — 2)2 + (y + 3)2 + (z — 5)2 = 36.
Задача 3. Найти центр и радиус сферы (х + 4)2 + (y — 3)2 + z 2 =100.
Решение: Сравнивая данное уравнение с уравнением сферы
(x — a)2 + (y — b)2 + (z — c)2 = R2 видим, что
а = — 4, b = 3, с = 0, R =10. Следовательно, С(—4; 3; 0), R = 10.
Задача 4. Доказать, что уравнение
х 2 + у 2 + z 2 — 2 х + 4 у — 6 z + 5 = 0
является уравнением сферы.
Решение: Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив квадраты двучленов, содержащих соответственно х, у и z:
х 2 — 2 х + у 2 + 4 у + z 2 — 6 z + 5 =
= (x — 1)2 — 1 + (y + 2)2 — 4 + (z — 3)2 — 9 + 5 =
= (x — 1)2 + (y + 2)2 + (z — 3)2 — 9.
Следовательно, данная поверхность имеет уравнение
(x — 1)2 + (y + 2)2 + (z — 3)2 = 9.
Это уравнение представляет собой уравнение сферы с центром в точке С(1; —2; 3) и радиусом R = 3
Задача 5. Составить уравнение плоскости по точкам .
Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам. Используем формулу:
Вот теперь и аналитически видно, что всё дело свелось к координатам двух векторов. Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
Больше ничего упростить нельзя, записываем:
Ответ:
Задача 6. Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору
Решение: Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:
С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей:
И приводим уравнение к общему виду:
Ответ:
Задача 7. Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору
Решение: Уравнение прямой составим по формуле:
Ответ: 
Задача 8. Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору . Решение: Используем формулу:
Ответ: 
(ось ординат)
Задача 9. Составить уравнение прямой по двум точкам .
Решение: Используем формулу:
Выполняем действия в знаменателях:
Применяем метод пропорции:
Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:
Раскрываем скобки и решаем уравнение:
Ответ: