1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
2. Определители 2, 3, т-го порядков. Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.
5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
6. Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными. Понятие о методе Жордана-Гаусса.
8. Системы m линейных уравнений c n переменными. Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.
9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.
11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.
12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
|
|
13.n- мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимоть векторов.
14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.
15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.
16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
17. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором x и образом y. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.
19. Собственные векторы и собственные значения оператора 
(матрицы А): характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.
20. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных значений. Пример.
21. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.
22. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.
23.Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).
|
|
24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
26. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.
27. Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно пропорциональной зависимости и квадратичного трехчлена.
28. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
30.Углы между плоскостями, двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия их параллельности и перпендикулярности.