Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной
случайной величины Х, принимающей конечное число значений хi
с вероятностями рi, называется сумма:
Другая запись: M(X)= (Σ xi)/ N
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется
интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения
вероятностей f (x):
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х.
Его размерность совпадает с размерностью случайной величины.
Свойства математического ожидания:
Дисперсия.Дисперсией случайной величины Х называется число:
Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной
величины Х относительно ее среднего значения.
. Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. 
Здесь m = М (Х).
Свойства дисперсии:
Среднее квадратичное отклонение:
 (11)
Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной
величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.
Моменты распределения. Моменты распределения случайной величины вводятся
как математические ожидания простейших функций от случайной величины.
Начальный момент первого порядка является математическим ожиданием:
Моменты относительно центра распределения х = m называются
центральными моментами и обозначаются:
Теперь очевидно, что дисперсия – это центральный момент второго порядка:
Асимметрия. Центральный момент третьего порядка:
служит для оценки асимметрии распределения.
Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного
коэффициента асимметрии:
Знак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или
левостороннюю асимметрию (рис. 2).
 Виды асимметрии распределений.
Эксцесс. Центральный момент четвертого порядка:
служит для оценки так называемого эксцесса,
определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения
вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения
Так как для нормального распределения  , то в качестве эксцесса принимается 
 Кривые распределения с различной степенью крутости (эксцессом).
Моменты более высоких порядков в инженерных приложениях
обычно не применяются.
|
Равномерный закон распределения.
Непрерывная случайная величину Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [ a; b ], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, т.е. f(x) имеет вид:
Математическое ожидание
Вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (a,b), принадлежащий целиком отрезку [ a, b ]:
|