Случайные величины и законы распределения
Каждый закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. На практике о распределении вероятностей случайной величины Х часто приходится судить только по результатам испытаний.
Повторяя испытания, будем каждый раз регистрировать, произошло ли интересующее нас случайное событие А, или нет.
Относительной частотой (или просто частотой) случайного события А называется отношение числа n появлений этого события к общему числу N проведенных испытаний. При этом мы принимаем, что относительные частоты случайных событий близки к их вероятностям. Это тем более верно, чем больше число проведенных опытов.
При этом частоты, как и вероятности, следует относить не к отдельным значениям случайной величины, а к интервалам. Это значит, что весь диапазон возможных значений случайной величины Х надо разбить на интервалы. Проводя серии испытаний, дающих эмпирические значения величины Х, надо фиксировать числа n i попаданий результатов в каждый интервал.
При большом числе испытаний N отношение
n i / N
(частоты попадания в интервалы) должны быть близки к вероятностям попадания в эти интервалы.
Зависимость частот n i / N от интервалов определяет эмпирическое распределение вероятностей случайной величины Х, графическое представление которой называется гистограммой.
Рис. 1. Гистограмма и выравнивающая плотность распределения
Для построения гистограммы по оси абсцисс (например, ось времени) откладывают интервалы равной длины, на которые разбивается весь диапазон возможных значений случайной величины Х, а по оси ординат откладывают частоты события n i / N (например, отказа). Тогда высота каждого столбика гистограммы равна соответствующей частоте (вероятности отказа в пределах интервала времени). Таким образом, получается приближенное представление закона распределения вероятностей для случайной величины Х в виде ступенчатой функции, аппроксимация (выравнивание) которой некоторой кривой f (x) даст плотность распределения.
Однако, часто бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные свойства распределения. Эти числа называются числовыми характеристиками случайной величины.
Вероятность того, что случайная величина примет значения в интервале от a до b выражается интегралом:
Вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее х, называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F (x):
Функция распределения является универсальным видом закона распределения, пригодным для любой случайной величины.
Площадь, закрашенная розовым цветом, определяет значение функции распределения для данного значения х.
С ростом х растет площадь, растет значение функции распределения
Общие свойства функции распределения:
.
Основные свойства плотности распределения:
3. 
при 
;
4. 
при 
;
