Равномерное и показательное распределения НСВ: функция распределения, плотность, основные параметры распределения, числовые характеристики, вероятность попадания на интервал.
M(X) | D(X) | σ(X) | |||
Равномерный
| ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Ошибка округления до ближайшего целого деления.
Время ожидания транспорта с постоянным интервалом движения.
![]() |
y |
b |
y =F(x) |
x |
Рис. 2.11. Функция распределения F(x) равномерной случайной величины |
а |
x |
а |
b |
c |
f(x) |
Рис.2.10. Плотность вероятности f(x) равномерной случайной величины |
x |
F(x) |
y = f(x) |
Постоянная , т. к. по свойству плотности вероятности площадь криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок [a, b], должна быть равна 1.
График
изображен на рис. 2.11.
M(X) | D(X) | σ(X) | ||||
| ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Время безотказной работы прибора; продолжительность телефонного разговора
![]() |
т.к >0, =>,
. График
изображен на рис. 2.12.
2.13. Функция распределенияпоказ.закона |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
2.12. Плотностьпоказательного закона |
![]() |
.
11. Непрерывная случайная величина называется нормально распределенной с параметрами , если её плотность вероятности задается формулой:
Функция распределения F(x) нормальной случайной величины
Теорема. Если непрерывная случайная величина Х нормально распределена c плотностью вероятности, то её числовые характеристики равны:
.
Для нормально распределенной случайной величины Х имеют место следующие свойства.
Свойство 1. Для нормально распределенной случайной величины с параметрами вероятность попадания на промежуток
вычисляется по формуле:
Доказательство. По свойству плотности вероятности, свойству интеграла и равенству (2.11) имеем:
Ч.т.д
Свойство 2. Для нормально распределенной случайной величины Х с параметрами вероятность отклонения Х от своего среднего значения а меньше, чем на
, вычисляется по формуле
.
Доказательство. Используя равенство (2.12)и нечетность функции Лапласа, получаем требуемое:
Свойство 3. Правило трех сигма. Все значения нормально распределенной случайной величины с практической достоверностью лежат в интервале , т. е.
Доказательство:
Свойство 4. Пусть – независимые нормальные случайные величины с параметрами
. Тогда случайная величина
также нормально распределена и
12) Распределение χ2 Пирсона, F- распределение Фишера, t- распределение Стьюдента; основные параметры этих распределений, графики.
Распределение Пирсона (xu – квадрат)
где
~
;
, где
~
;
Распределение Фишера-Снедекора (F – распределение)
;
Неравенства Маркова и Чебышева, лемма о среднем арифметическом случ.величин.
Неравенство Маркова: Если Х – неотрицательная НСВ (), тогда
справедливо неравенство
.
Неравенство Чебышева: Пусть Х – СВ с числовыми характеристиками и
, тогда
справедливо неравенство
.
О среднем арифметическом: Если независимые однотипные CВ с математическим ожиданием а и дисперсией D, тогда
справедливо неравенство
.
Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Закон больших чисел: Если независимые однотипные CВ с математическим ожиданием а, тогда
.
Центральная предельная теорема – это группа теорем об условиях, при которых возникает нормальный закон распределения.
При изучении нормального закона была сформулирована теорема: если – независимые нормальные случайные величины с одними и теми же параметрами
и
, то их сумма
также нормальна и имеет параметры
и
. Кроме того, справедливо равенстводля любого сколь угодно малого числа
. Это равенство практически точно уже при
.
Ф
Это утверждение называется центральной предельной теоремой и кратко формулируется так: сумма большого числа независимых однотипных случайных величин с любым законом распределения приближенно нормальна.
теорема Ляпунова: если случайные величины независимы и никакая из них не доминирует над другими, то при достаточно большом числе слагаемых их сумма приближенно нормальна.
-незав. СВ
MX=a, DX=σ2 ;
15. Двумерная СВ-упорядоченная пара СВ (Х;Y)
Коэффициентом корреляции случайной величины (Х,Y) называется число , равное:
Ковариацией (корреляционным моментом) случайной величины (Х,Y) называется число , равное:
.
Числовыми хар-ми двумерной СВ (Х;Y) считают числхар-кикаждой из ее компонент, а также числхар-ки, определяющие тесноту связи между компонентами ковариация, коэф-т корреляции.
16. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.
Вариационный ряд- ранжированная(упорядоченная) по возраст или убыв выборка.
Статистический ряд- двойной ряд чисел, указывающий каким образом знач-я признака(вер-ти) связаны с их повторяемостью(частотами) в выбранной стат совок-ти.
17. Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкцияраспределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.
Функция , определяющая для каждого значения х относительную частоту события
, называется эмпирической функцией распределения или функцией распределения выборки.
18. Ломаная, отрезки которой соединяют точки , называется полигоном частот. Ломаная, соединяющая на координатной плоскости точки
, называется полигоном относительных частот.
Полигон относительных частот для распределения показа
Рис. 3.3. Гистограмма частот |
![]() |
x |
Рис. 3.2. Полигон относительных частот |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
![]() |
х |
Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной и высотами
(плотность частоты), называется гистограммой частот. (рис. 3.3)
19. Несмещенной называется статистическая оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру
при любой выборке:
(3.6)
Смещенной называется оценка, при которой условие (3.6) не выполняется.
Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п.
Состоятельной называется статистическая оценка типа (3.4), которая при стремится к оцениваемому параметру.
(3.4)
20. виды числовых характеристик оценок:
выборочная средняя
Если значения признака в выборке имеют соответственно частоты
, то последнюю формулу можно переписать в виде
(3.7)
Выборочная средняя (3.7) является состоятельной несмещенной оценкой математического ожидания случайной величины, т. е.
Введем в рассмотрение величины, характеризующие отклонение количественного признака Х от своего среднего значения. Одной из них является исправленная выборочная дисперсия
(3.8)
Исправленная выборочная дисперсия (3.8) является состоятельной несмещенной оценкой дисперсии случайной величины, т.е. Если в формуле (3.8) знаменатель
заменить на
, то оценка останется состоятельной, но будет смещенной, т.е.
В случае, когда математическое ожидание признака Х известно: , в качестве состоятельной несмещенной оценки для дисперсии можно использовать выборочную дисперсию
(3.9)
Аналогично вводятся оценки для среднего квадратического отклонения: