Дивергенция векторного поля.Формула Остроградского-Гауса в векторной форме.
Дивергенция-пусть векторное поле задается векторной ф-цией F(P,Q,R) где P(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z) непрерывно дифференцируемые ф-ции рассматриваемые в этом поле. Возьмем в этом поле произвольную т.М и окружим её замкнутой поверхностью Ϭ считая её гладкой или кусочно гладкой. Соринтируем эту поверхность задав вектор нормали и рассмотрим отношения потока векторного поля F через замкнутую ориентированную поверхность Ϭ к обьему V тела ограниченного этой поверхностью. 
С гидродинамической точки зрения это отношение выражает кол-во жидкости возникающее в обьеме V к величине этого обьема, т.е. величина (1) есть средняя мощность источника или стока помещенного в т.М точное значение получим переходя к приделу в равенстве (1), когда поверхность Ϭ стягивается в т.М(V→0). Дивергенцией (расходимостью) векторного поля F в т.М называется придел при V→0 (если он существует) отношение потока этого векторного поля через замкнутую поверхность содержащую т.М к величине обьема ограниченного этой пов-стью.Если дивергенция векторного поля в т.М>0 то т.М является источником, если <0 то т.М - точкой стока, если =0 – то в данной точке нет ни источника ни стока. Таким образом дивергенция векторного поля в т.М характерезуется мощностью источника или стока этого поля в т.М. Теорема: Если ф-ции P(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z) непрерывны вместе со своими часными производными первого порядка в некоторой области то дивергенция существует в любой т.М этой области, причем 
(2) Док-во: по определению дивергенция векторного поля равна отношению 
Определение: Если 
const – то поле однородное. Очевидно что дивергенция однородного векторного поля в любой точке равна нулю.div 
(М)=0 Это означает что в данном поле нет ни источников ни стока. С гидродинамической точки зрения этот результат означает что если жидкость течет с постоянной скоростью С то в таком поле не будет ни источников ни стоков. Формула (2) позволяет записать формулу Остроградского-Гауса в векторной форме: 
(3) Замечание: формулу (3) читают так:Поток векторного поля F через замкнутую положительно ориентированную кусочно-гладкую поверхность Ϭ равна тройному интегралу от дивергенции векторного поля. С гидродинамической точки зрения формула(3) означает количество жидкости возникающее внутри поверхности Ϭ в единицу времени равно суммарной мощности всех источников с током размещенных внутри поверхности. Свойства дивергенции: 1.Линейности:div 
= 
div 
div 
Док-во следует из формулы (2) и свойства непрерывности часных производных. 2.Если u(x,y,z) – некоторая диференцируемая сколярная функция в рассматриваемой области, то div(u, 
)=udiv +(grad u, ) Док-во: div(u, )= 
+(grad u, )
|
|
Соленоидальные векторные поля и их свойства.
Опр: Соленоидальным (трубчатым) векторным полем называется такое векторное поле F дивергенция в каждой точке которого равна нулю, т.е. div (M)=0(1). Просиейшим примером векторного поля является однородное векторное поле const. Сформулируем основные свойства соленоидальных полей в виде теоремы: Теорема1: Поток векторного поля через любую замкнутую поверхность целеком расположенную в этом поле равен нулю т.е. если F – соленоидальное векторное поле то поток: 
(2). Док-во этой теоремы автоматически следует из формулы Остроградского-Гауса. Теорема2: Поток С векторного поля через любое поперечное сечение векторной трубки в направлении векторных линий принимает одно и то же постоянное значение вдоль всей длины векторной трубки и называется интенсивностью векторной трубки.Док-во:Пусть векторное поле задается векторной функцией F(P,Q,R) где P,Q,R-непрерывно дифференцируемые функции. Возьмем в этом векторном поле замкнутый контур С и через концы проведем векторные линии. Опр: Часть векторного поля F ограниченной векторными линиями проходящими через каждую точку замкнутого контура L называется векторной трубкой контура L. Рассмотрим часть векторной трубки ограниченой сечением 
и каким-нибудь поперечным сечением. Покажем что 
= 
т.к. - соленоидальное векторное поле, то 
, Ϭ= + 
+ 
Возьмем на поверхности внешнюю ориентацию, тогда 
т.к. 
, то 
|
|