Второй этап формирования вычислительных навыков в решении комбинаторных задач связан с формированием правил суммы и произведения. Предлагаемая методика формирования правил суммы и произведения и последующих основных комбинаторных понятий базируется на таких теоретико-множественных понятиях, как множество, элемент множества, подмножество, упорядоченное множество. Поэтому с учащимися необходимо повторить эти понятия.
Рассмотрим задачу про «Суеверного председателя».
«Опять восьмерка!» - горестно воскликнул председатель клуба велосипедистов, взглянув на прогнутое колесо своего велосипеда. «А все почему? Да потому, что у меня членский билет № 888 – целых три восьмерки. И теперь не проходит и месяца, чтобы то на одном, то на другом колесе не появилась восьмерка. Надо менять номер билета! А чтобы меня не обвинили в суеверии, проведу ка я перерегистрацию всех членов клуба и буду выдавать только билеты с номерами, в которые не входит ни одна восьмерка. Не знаю только, хватит ли на всех номеров – ведь у нас в клубе почти 600 членов. Неужели придется сначала выписать все номера от 000 до 999, а затем вычеркивать из них все номера с восьмерками?» Чтобы помочь председателю, нам нужно решить такую комбинаторную задачу (учащимся можно предложить ее сформулировать):
Сколько существует трехзначных номеров, не содержащих цифры 8?
Далее учащиеся должны ответить на вопросы (Как бы вы решили такую задачу? С помощью какого метода? Какие еще методы решения применимы к данной задаче?) и вместе с учителем разобрать решение данной задачи.
Сначала найдем количество однозначных номеров, отличных от 8. Ясно, что таких номеров девять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. А теперь найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерок. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номеров и написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится 9 двузначных. А так как двузначных номеров было 9, то получится 9·9 = 92 двузначных номеров.
Итак, существует 92 = 81 двузначный номер без цифры 8. Но к каждому из этих номеров можно приписать справа любую из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 и получить трехзначный номер, не содержащий цифру 8. При этом получаются все трехзначные номера с требуемым свойством. В результате мы нашли 92·9 = 93 = 729 трехзначных номеров без восьмерок.
Если бы председатель клуба был еще суевернее и отказался и от цифры 0, поскольку она походит на вытянутое колесо, то он смог бы составить лишь 83 = 512 трехзначных номеров и их уже не хватило бы на всех членов клуба.
С помощью этого примера вводятся понятие кортежа и правило произведения.
Кортежи. Номера, составленные из трех цифр, нельзя рассматривать как множество элементов. Во-первых, в номерах цифры могут повторяться (например, 775), а в множествах элементы не повторяются, во-вторых, в номерах важен порядок цифр (175 и 571 – совсем разные номера), а в множествах порядок элементов роли не играет. Поэтому, если мы хотим изучать такие объекты, как номера, или слова (в них тоже могут буквы повторяться, от перестановки букв слово меняется), нужно ввести новое математическое понятие, отличное от понятия множество.
Это новое понятие математики назвали кортежем (наряду со словом «кортеж» применяют названия «слово», «набор», «вектор», «конечная последовательность» и т.д.). Кортеж – французское слово, означающее торжественное шествие. И у нас иногда говорят «кортеж автомашин», «свадебный кортеж» и т.д. При этом кортеж автомашин может состоять из нескольких «Волг», нескольких «БМВ» и нескольких «Ауди». Если считать машины одной и той же марки неразличимыми, то получим, что в кортеже автомашин один и тот же элемент может повторяться несколько раз.
В математике кортеж определяют так. Пусть имеется несколько множеств X1, …, Xk. Представим себе, что их элементы сложены в мешки, а мешки перенумерованы. Вытащим из первого мешка какой-нибудь элемент (то есть возьмем какой-нибудь элемент а1 множества Х1), затем вытащим элемент а2 из мешка Х2 и будем продолжать этот процесс до тек пор, пока из мешка Хk не будет вытащен элемент аk. После этого расставим полученные элементы в том порядке, в котором они появились из мешков (а1, а2, …, аk). Это и будет кортежем длины k, составленным из элементов множеств X1, …, Xk. Элементы а1, а2, …, аk называют компонентами кортежа.
Два кортежа называют равными в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, а на соответствующих местах стоят одни и те же элементы.
Здесь учащимся можно дать индивидуальное задание: взять любое множество и составить из его элементов кортеж, при этом спросить их, почему он является кортежем, и сколько кортежей можно составить из этого множества?
При больших значениях n (n – это количество элементов в множестве, из которого составляется кортеж) и k (k – это количество элементов в кортеже) перебор вариантов становиться очень громоздким, поэтому ограничиваются только подсчетом общего числа возможных вариантов построения кортежей. Для простейших комбинаторных задач формулы для подсчета числа возможных кортежей получаются с помощью двух основных правил комбинаторики.
Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b можно выбрать n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами. (Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 7+4=11 способами).
На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом: Если пересечение конечных множеств A и B пусто, A∩B=Ø, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств A и B: A∩B=Ø => 
Здесь целесообразно задать учащимся вопросы: А как будет сформулировано правило суммы для пересекающихся множеств A и B? в общем случае для конечного числа множеств?
Правило суммы применяется для решения комбинаторных задач. Именно, часто приходится разбивать все множество перечисляемых комбинаций, подсчитывать число элементов в каждой группе и потом складывать получившиеся ответы.
Правило произведения. Возьмем несколько конечных множеств X1, …, Xk, состоящих соответственно из n1, …, nk элементов, и найдем, сколько кортежей длины k можно составить из элементов этих множеств. Способ, которым мы решим эту задачу по сути дела будет тем же самым, каким было найдено число трехзначных номеров без восьмерок. Сначала найдем число кортежей длины 1, составленных из элементов множества Х1. Ясно, что их число равно n1. Возьмем теперь один из этих кортежей (а1) и припишем к элементу а1 справа по очереди все элементы множества х2.Получится n2 кортежей длины 2, у которых первая координата равна а1. Но вместо а1 можно было бы взять любой другой элемент из Х1. Поэтому получается n1 раз по n2 кортежа, а всего n1∙ n2 кортежей длины 2 или, как чаще говорят пар. Из каждой такой пары получим n3 троек, приписав к ней по очереди все элементы множества Х3, а всего n1∙ n2∙ n3 троек. Продолжая этот процесс, получим, в конце-то концов, n1∙ n2∙ …∙ nk кортежей длины k, составленных из элементов наших множеств.
Полученный результат является одним из важнейших в комбинаторике. На нем основан вывод многих формул комбинаторики. Его называют «правилом произведения». Сформулируем это правило так. Если элемент а1 можно выбрать n1 способами, после каждого выбора этого элемента следующий за ним элемент а2 можно выбрать n2 способами … после выбора элементов а1, а2, …, аk-1 элемент аk выбирается nk способами, то кортеж (а1, а2, …, аk) можно выбрать n1 ∙ n2 ∙ … ∙ nk.
Подсчитаем, например, сколько слов, содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы различны (например, слово «корова» допускается, а слово «колосс» нет). При этом, разумеется можно писать бессмысленные слова. В этом случае на первое место у нас 33 кандидата. Но после того, как первая буква выбрана, вторую можно выбрать лишь 32 способами – ведь повторять первую букву нельзя. На третье место тоже 32 кандидата – первую букву уже можно повторить, а вторую – нельзя. Также убеждаемся, что на все места, кроме первого, имеется 32 кандидата. А так как число этих мест равно 5, то получаем ответ 33∙32∙32∙32∙32∙32=1107396236.
Задачи на непосредственное применение комбинаторных правил произведения и суммы:
1. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 знают английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Сколько человек знают только один язык?
2. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?
3. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?
4. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске черный и белый квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?
5. Имеется 20 тетрадей в линейку и 30 тетрадей в клетку. Необходимо выбрать две тетради одного вида. Сколько способов выбора двух тетрадей возможно, если учитывается порядок выбора тетрадей?