ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ПРИ НАЛИЧИИ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ В ОСТАТКАХ

Примем некоторые допущения относительно уравнения:

y_t=a₀+a₁x_t+ ε_t (8)

• пусть y_t и x_t не содержат тенденции, например, представляют собой отклонения выровненных по трендам значений от исходных уровней временных рядов;

• пусть оценки а₀ и а₁ параметров уравнения регрессии найдены обычным МНК;

• пусть критерий Дарбина-Уотсона показал наличие автокорреляции в остатках первого порядка.

Чтобы понять, каковы последствия автокорреляции в остатках для оценок параметров модели регрессии, найденных обычным МНК, построим формальную модель, описывающую автокорреляцию в остатках. Автокорреляция в остатках первого порядка предполагает, что каждый следующий уровень остатков ε_t зависит от предыдущего уровня ε_{t -1}.

Следовательно, существует модель регрессии вида

(9)

где с и d – параметры уравнения регрессии.

В соответствий с рабочими формулами МНК имеем:

(10)

Учитывая, что сумма остатков равна нулю можно показать, что:

(11)

где – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

Таким образом, имеем:

(12)

где u_t – случайная ошибка.

Заметим, что | | < 1.

Учитывая соотношение (12), уравнение (8) можно переписать в виде

(13)

Найденные соотношения показывают, что текущий уровень ряда y_t зависит не только от факторной переменной x_t, но и от остатков предшествующего периода _t-1.

Допустим, мы не принимаем во внимание эту информацию и определяем оценки параметров а₀ и а₁ уравнения (8) обычным МНК. Тогда можно показать, что полученные оценки неэффективны, т. е. они не имеют минимальную дисперсию. Это приводит к увеличению стандартных ошибок, снижению фактических значений t- критерия и широким доверительным интервалам для коэффициента регрессии. На основе таких результатов можно сделать ошибочный вывод о незначимом влиянии исследуемою фактора на результат, в то время как на самом деле его влияние статистически значимо.

При соблюдении прочих предпосылок МНК автокорреляция остатков не влияет на свойства состоятельности и несмещенности оценок параметров уравнения регрессии обычным МНК, за исключением моделей авторегрессии. Применение МНК к моделям авторегрессии ведет к получению смещенных, несостоятельных и неэффективных оценок.

Итак, если остатки по исходному уравнению регрессии со­держат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК. Для его реализации необходимо выполнять следующие условия.

1. Преобразовать исходные переменные у_t, и х_t, к виду и .

2. Применив обычный МНК к уравнению , определить оценки параметров и .

3. Рассчитать параметр а исходного уравнения из соотношения t по формуле:

(14)

4. Выписать исходное уравнение (8).

Обобщенный метод наименьших квадратов аналогичен мето­ду последовательных разностей. Однако мы вычитаем из у_t не все значения предыдущего уровня y_t-1, а некоторую его долю . При =1 это будут первые разности и .

Поэтому в случае, если значение критерия Дарбина-Уотсона близко к нулю, применение метода первых разностей вполне обоснованно. Если = –1, т. е. в остатках наблюдается полная отрицательная автокорреляция, то изложенный выше метод заменяется моделью:

(15)

В этой модели определяют средние за два периода уровни каждого ряда, а затем по полученным усредненным уровням обычным МНК рассчитываем параметры a₀ и a₁. Данная модель называется моделью регрессии по скользящим средним.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Таблица

Окончание табл.