Поверочные и проектные расчеты

Условие безопасной прочности при кручении имеет вид

τ_мах = T / W_p ≤ τ _adm.

Касательные напряжения действуют не только в поперечных сечениях бруса, но и в продольных, образуя двухосное напряжен­ное состояние – чистый сдвиг. Он не будет однородным, посколь­ку величина изменяется по радиусу поперечного сечения. Ка­сательные напряжения в продольных сечениях могут быть причиной разрушения анизотропного материала. Древесина, как известно, имеет сравнительно низкую прочность на скалывание вдоль воло­кон. Поэтому разрушение деревянного образца при кручении начи­нается с образования продольных трещин.

В наклонных же сечениях стержня действуют нормальные и касательные напряжения. Наибольший интерес представляют глав­ные напряжения σ₁ = σ_max = τ и σ₃ = σ_min = – τ с углом наклона пло­щадок к оси бруса 45º и 135º. Опыты показывают, что хрупкие материалы при кручении разрушаются по винтовой поверхности, наклоненной к оси вала под углом 45º. Именно перпендикулярно этой поверхности действуют наибольшие растягивающие напряже­ния.

Как видно из сказанного, помимо выполнения основного ус­ловия прочности, требуется обращать внимание на дополнительные проверки безопасности напряженного состояния.

При заданных величинах τ _adm и размерах сечения допускае­мый крутящий момент равен

T_adm ≤ τ _admW_P.

Для подбора сечения из условия прочности используется зависимость

W_P ≥ T /τ _adm.

Для круглого поперечного сечения

W_P = (π r ³)/2 = (π d)³/16 ≈ 0,2 d ³,

поэтому можно определить непосредственно минимальный диаметр сечения:

Эпюра τ при кручении показывает, что материал бруса раци­онально используется только в периферийной зоне. Поэтому можно получить значительную экономию материала, удаляя слабо напря­женную внутреннюю часть, т.е. изготовляя вал полым. Однако практически это возможно лишь до известного предела, поскольку чрезмерно тонкие стенки неустойчивы.

Момент сопротивления трубчатого вала равен

.

Определение наружного и внутреннего диаметров сече­ния ведется методом последовательных попыток (либо задаются их соотношением).

В тонкостенной трубе практически во всех точках стенки возникают одинаковые напряжения, т.е. в этом случае напряжен­ное состояние будет практически однородным. Вот почему опыты с кручением таких труб используют обычно для изучения чистого сдвига и, в частности, для установления предела текучести при сдвиге.

При совмещении кручения с другими деформациями проверка прочности ведется по приведенному напряжению:

σ _red ≤ σ _adm.

При проектировании валов размеры их сечений назначаются так, чтобы не только удовлетворялось условие прочности, но и обеспечивалась в целях нормальной эксплуатации достаточно малая кривизна кручения. Условие жесткости имеет вид

k_t = T /(GI_P) ≤ k_{t adm} (рад/м),

где k_{t adm} – допускаемая кривизна кручения в радианах на еди­ницу длины вала, или

(град/м),

где k_{t adm} задается в градусах на единицу длины вала(допускаемый относитель-ный угол закручивания).

Величина k_{t adm} устанавливается техническими условиями. Для разных конструкций и для различных режимов работы вала она ко­леблется в доволь-но широких пределах: k_{t adm} = (0,26...3,5)10^-2 рад/м, или k_{t adm} = (0,15...2,0) град/м.

Допускаемый крутящий момент из условия жесткости для сплошного вала равен

T_adm ≤ GI_Pk_{t adm}, или T_adm ≤ (π GI_Pk_{t adm})/180.

Диаметр вала вычисляется по формулам: а) в случае сплошно­го сечения

или

б) в случае кольцевого сечения

или

Модуль сдвига в случае сплошного вала определяется по формуле

G ≥ T / (I_Pk_{t adm}),

или

G ≥ (180 T)/ (π I_Pk_{t adm}).

Из проектных расчетов по условиям прочности и жесткости берутся наибольшие значения d и G и наименьшая величина Т_adm. Диаметр округляется до ближайшей большей стандартной величины.

Практикум

Примеры

1.На участке сплошного круглого вала D=10см действует крутящий момент Т=8 кHм. Проверить прочность и жёсткость вала, если τ_adm=50 МПа, К_{t adm}=0.5 и модуль сдвига G=0.8 ⁵МПа.

Решение. Условие безопасной прочности

где W_p= =196 см³, что меньше τ_adm.

K_t= =1.02 .

Выразив K_t в размерности , получим

K_t=1.02 =1.02 =0.58 ,

что превышает величину допускаемого относительного угла закручивания K_{t adm}=0.5 на 16%. Следовательно – прочность вала обеспечена

τ_мax=40.75МПа < 50МПа,

а жёсткость не обеспечена.

2. Стальной вал кольцевого сечения D=10см, d=8см. нагружен моментом, вызвавшим τ_мах=τ_adm=70МПа. Что произойдёт, если этот вал заменить сплош-ным круглым валом диаметром 8см. (материал сохранён).

Решение. Максимальные касательные напряжения в вале .

Для кольцевого сечения W_р= , а для вала сплошного сечения W_р= . По условию для вала кольцевого сечения τ_мах=70 МПа, очевидно, что для вала сплошного сечения максимальные напряжения будут больше во столько раз, во сколько его момент сопротивле-ния меньше.

τ =τ 70

3. Для сплошного овала (задача №2) определить появились ли пласти-ческие деформации, если известно, что n_adm=1.8?

Решение. Для пластичных материалов n_adm= , следовательно

τ_у =70 .

Действующие напряжения превысили предел текучести, следовательно появились пластические деформации.