Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которая записывается в следующем общем виде: {a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………..asx1+as2x2+…+asnxn=b1}. Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу: {a11 a12 … a1n, a21 a22 … a2n …… as1 as2 …asn); называемую матрицей системы, состоящую из s строк и n столбцов; числа аij называю
элементами матрицы.
Решением системы линейных уравнений называется такая система n чисел k1, k2, …,kn, что каждое из уравнений системы обращается в тождество после замены в нем неизвестных xi,- соответствующими числами kj, i=(1, 2,..., n).
Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения и тогда она
называется несовместной. Если же система линейных уравнений обладает решениями, то
она называется совместной. Совместная система называется определенной, если она
обладает одним-единственным решением (лишь такие системы допускаются к
рассмотрению в элементарной алгебре), и неопределенной, если решений больше чем одно
(их будет в этом случае даже бесконечно много).
Две системы уравнений эквивалентны, если они или обе несовместны, или же обе
совместны и обладают одними и теми же решениями.
Наиболее удобным для практического разыскания решений систем с числовыми
коэффициентами является метод последовательного исключения неизвестных или метод
Гаусса.
Пусть дана произвольная система линейных уравнений::{a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………..asx1+as2x2+…+asnxn=b1}.
Положим, для определенности, что коэффициент а11 ≠0, хотя на самом деле он может, конечно, оказаться равным нулю, и мы должны будем начать с какого-либо другого, отличного от нуля, коэффициента из первого уравнения системы. Преобразуем теперь систему (*), исключая неизвестное х1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на число а21 \ а11 и вычтем из
соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения, умноженные на число а31 \ а11 вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и т.д.
Мы придем этим путем к новой системе из s линейных уравнений с n
неизвестными: {a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1, a’22x2+…+a’2nxn=b’2, …..a’s2x2+…+a’snxn=b’s.}
8. Перестановки. Лемма о транспозициях. В комбинаторике перестано́вка — это упорядоченный набор чисел 1,2,…,n, бычно трактуемый как биекция на множестве {1,2,..,n}, которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки. В теории групп под перестановкой (подстановкой) произвольного множества подразумевается биекция этого множества на себя. Число всех перестановок порядка n равно числу размещений из n по n, т.е. факториалу:Pn=Ann=n!=1*2*..*n.
Композиция определяет операцию произведения на перестановках одного порядка: (П*б)(k)=П(б(k)).
Относительно этой операции множество перестановок порядка n образует группу, которую называют симметрической и обычно обозначают Sn. Любая группа является подгруппой группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент aeG.Cопоставляется с перестановкой πa, задаваемой тождеством Пa(g)=a o g, где g — произвольный элемент группы G, а o- групповая операция.
Носитель перестановки: П:X->X- это подмножество множества X, определяемое как
supp(П)={xeX I П(x)/=x}. Неподвижной точкой перестановки π является всякая неподвижная точка отображения: П:X->X, то есть элемент множества {xeX I П(x)=x}.Множество всех неподвижных точек перестановки π является дополнением её носителя в X. Инверсией в перестановке π порядка n называется всякая пара индексов i,j такая, что 1<=i<j<=n и π(i) > π(j). Чётность числа инверсий в перестановке определяет чётность перестановки. Знак перестановки определяется как +1 для чётной перестановки и -1 для нечётной, что выражается формулой sgn(σ) = (− 1) стN(σ), где N(σ) — количество инверсий в перестановке σ. Знак перестановки σ может быть также определен как sgn(σ) = (− 1) ст m, где m — количество транспозиций в разложении σ в произведение транспозиций. Несмотря на то, что такое разложение не единственно, чётность количества транспозиций во всех разложениях σ одна и та же, и поэтому знак перестановки корректно определён.
Определение Перестановка называется четной, если она имеет четное число
инверсий (т. е. sign (α1, α2,..., αn) = 1) и нечетной если нечетное (т. е. sign
(α, α,..., α) = −1).
9. Определители $n$-го порядка. Определителем п-го порядка, соответствующим матрице А, называется алгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус — в противоположном случае.
Для записи определителя n-го порядка, соответствующего матрице A, мы будем,
употреблять символ: Ia11 a12 … a1n, a21 a22 … a2n, …….. an1 an2 …annI.
Определитель n-го порядка обладает следующими свойствами:
1) Определитель не меняется при транспонировании.
2) Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3) Если один определитель получен из другого перестановкой двух строк, то все члены первого определителя будут членами и во втором, но с обратными знаками, т. е. от перестановки двух строк определитель лишь меняет знак.
4) Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5) Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k,
то сам определитель умножится на k.
6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7) Если все элементы i-й строки, определителя n-го порядка представлены в виде, суммы двух слагаемых: aij = bj + cj,то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, — такие же, как и в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.
8) Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то
определитель равен нулю.
9) Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Так как число k может быть и отрицательным, то определитель не меняется и при вычитании из одной его строки другой строки, умноженной на некоторое число. Вообще, определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.
10. Признаки равенства определителя нулю.
Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то
определитель равен нулю. Определитель имеющий нулевую строку равен нулю.
Рассмотрим матрицу A, определитель которой равен нулю: A(123,456,789), detAI(123,456,789)I=0
Столбцы матрицы линейно зависимы, 2-й столбец линейно выражается через 1-й и 3-й:
A(1)=(1,4,7), A(2)=(2,5,8),A(3)=(3,6,9);
1/2A(1)+1/2A(3)=1/2(1,4,7)+1/2(3,6,9)=(1/2,4/2,7/2)+(3/2,6/2,9/2)=(1/2+3/2,4/2+6/2,7/2+9/2)=(2,5,8)=A(2).