Задачи для выполнения расчетно-графической работы

К-4. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки в случае вращательного переносного движения

По заданным уравнениям относительного движения точки М и переносного движения тела D. Определить для момента времени абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Схемы механизмов даны на рисунке 10.5, а необходимые для расчета данные указаны в таблице 10.1. Положительным направлением относительного движения точки М считать движение от точки О.

Таблица 10.1

Исходные данные для задачи К-4

вариант	№ схемы	, рад	, см	, сек	R, см	, см	, град
				1/2
			2/3
				1,5
				2/3
			1/2
				1/2

Таблица 10.1 - продолжение

				1/2
			1/2
				1/4
				1/2
				1/4
			1/2
				2/3
				1/2
			1/4
			1/2

Таблица 10.1 - продолжение

				1/2
				2/3
			1/3
				1/3
			2/3
				1/2
				1/2
			1/2
				2/3
			1/2
				2/3
				1/2
			2/3

Рисунок 10.5

Рисунок 10.5 – продолжение

Рисунок 10.5 – продолжение

Рисунок 10.5 – продолжение

Рисунок 10. 5 – окончание

 

 

Практическое занятие 11

 

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

11. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки [1,2,4,5,6]

Методика решения задач

Пример 11.1

Тело падает в сопротивляющейся среде с высоты под действием силы тяжести и силы сопротивления , пропорциональной квадрату скорости ( - постоянный коэффициент). С какой скоростью тело упадет на землю, если его начальная скорость ?

Решение.

На схеме (рис. 11.1) показаны начальное () и текущее () положение тела. Для начального положения тела показан вектор начальной скорости , для текущего – приложенные силы. Дифференциальное уравнение движения:

.

Так как

,

то дифференциальное уравнение движения можно переписать в виде

.

Но

.

Поэтому:

;

или

.

Это уравнение является линейным относительно . Если обозначить , , , его можно привести к виду

.

Общее решение этого уравнения:

,

где - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходным обозначениям, имеем:

.

Начальное условие: при , . Поэтому:

, .

Следовательно:

.

Следовательно, при :

.

Пример 11.2

Груз Д массой m (рис. 11.2), получив в т. А начальную скорость V_{0 ,} движется в изогнутой трубе. На участке АВ трубы на груз, кроме силы тяжести mg, действует постоянная сила Q. Трением груза о трубу на этом участке пренебречь. В т. В груз не меняя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где кроме силы тяжести mg, на груз Д действуют: сила трения F_тр и переменная сила F в направлении движения. Считать груз Д материальной точкой и зная время t₁ движения груза на участке АВ, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. зависимость x=f(t)=?

Дано: m =4 кг, V₀ =12 м/c, Q =14 H, f =0.2, F=8cos(4t), t₁ =2 c.

 

Решение:

Рассмотрим движение груза Д на участе АВ трубы (рис.11.2). Проставим действующие на груз силы: сила тяжести mg, реакция опоры N, постоянная сила Q.

Рис. 11.2

Составим дифференциальное уравнение движения груза:

;

Определим постоянную С₁ из начальных условий:

При t =0:

Определим скорость в точке В при t₁ =2c:

При t=t₁ =2c:

V_в =8.4*2+12=28.8 м/c

Рассмотрим движение груза Д на участке ВС трубы. Проставим действующие на груз силы: сила тяжести mg, переменная сила F, реакция опоры N, сила трения F_тр.

Составим дифференциальное уравнение движения груза:

Сила трения: Н.

;

.

Определим постоянную С₂ из начальных условий:

При t₀=0:

При t₀ =0:

.

Получим .

Ответ:

 

ПРИМЕР 11.3

На участке AB (рис. 11.3) на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила Q (ёе направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости U груза (направление против движения); трением скольжения на участке АВ пренебречь. В точке В груз, не изменяя скорости, переходит на участок ВС, где на него кроме силы тяжести действует сила трения (коэффициент трения груза о трубу f =0,2) и переменная сила F. m = 6кг, U₀ = 5м/с, Q = 3Н, R = 0,3, t₁ = 10c, F_X = 6Sin4t. Найти: x = f(t).

 

Решение:

Рассмотрим движение материальной точки (тела) Д на участке АВ. Прикладываем к точке Д силы: Q,R,G = mg, реакцию N. Проводим ось X и составляем дифференциальное уравнение движения точки Д в проекции на эту ось:

 

Рис. 11.3

 

Подставляя значения сил, разделив уравнение на массу и учтя, что U_X = U, получим:

Разделяем переменные:

Интегрируем:

По начальным условиям при t₀ = 0, U₀ = 5м/с определяем произвольную постоянную С₁

Подставляя значение С₁ и перенося его в левую часть уравнения, получим:

Потенцируя уравнение, определяем U:

.

Подставляя t = t₁ * 10c определяем скорость тела Д в точке В:

Рассмотрим движение точки Д на участке ВС. Изображаем её в произвольном положении и действующие на неё силы . Составим дифференциальное движения точки Д в проекции оси Х:

где: . Подставляя числовые значения и разделив на m, получим

Умножив уравнение на dt и проинтегрировав, получим:

При t₀=0, V₀=V₈=7; определяем C₂; 7=1,5+С₂; C₂=5,5.

Подставляем С₂:

Умножаем уравнение на dt и интегрируем:

При t₀=0, Х₀=0; Определяем С₃:С₃=0

Окончательно получаем искомый закон движения тела Д на участке ВС

где Х – в метрах, t – в секундах.