Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела




13. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы [1,2,4,5]

Теорема об изменении главного момента количеств движения системы (теорема моментов).Производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторой неподвижной оси равен сумме моментов всех внешних сил системы относительно этой оси:

(13.1)

Определение кинетического момента:

при поступательном движении

, (13.2)

где h –плечо (расстояние от вектора скорости до центра или оси),

при вращательном движении

. (13.3)

Кинетический момент вращающегося тела относительно от вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Кинетический момент считается положительным, если кратчайший поворот вектора скорости относительно центра или оси происходит по направлению движения данной системы, и наоборот.

 

 

Пример 13.1

Горизонтальная прямоугольная пластина АВДЕ со сторонами АВ=а= 0,30 м, ВД = b =0,40 м и массой кг может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси , проходящей через точку Е (рис. 13.1). На пластине имеется прямоугольный желоб АД, по которому может двигаться без трения груз массой кг.

В начальный момент пластина и груз неподвижны, и груз находится в точке А, затем груз начинает двигаться по пластине под действием внутренних сил по закону , м.

Определить угловую скорость пластины как функцию времени и найти ее значение в момент, когда груз окажется в точке Д.

 

 

Рис. 13.1

 

Решение:

На схеме показаны внешние силы, действующие на систему пластина – груз: силы тяжести , и реакции , , , , подшипника и подшипника . Моменты каждой из этих сил относительно оси равны нулю. Поэтому по теореме об изменении кинетического момента: .

Отсюда . Постоянная интегрирования , так как в начальный момент система неподвижна. Следовательно .

Так как система состоит из двух тел – пластины и груза, то ее кинетический момент равен сумме кинетического момента пластины и момента количества движения груза:

.

Пластина вращается вокруг неподвижной оси, поэтому:

,

где - проекция вектора угловой скорости на ось .

Момент инерции пластины по теореме Штейнера:

 

.

 

При определении момента количества движения груза учитываем, что его движение сложное и абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

По теореме Вариньона момент вектора относительно оси равен алгебраической сумме моментов его составляющих, поэтому момент количества движения груза равен сумме моментов векторов и :

 

.

 

На рис. 13.2 вектор относительной скорости направлен в положительную сторону оси , что соответствует случаю, когда:

.

В этом случае отрицателен (точка движется по отношению к оси по часовой стрелке). Если будет (проекция на ось отрицательно), то направление будет противоположным и

должен быть положительным. В обоих случаях справедливо равенство:

.

 

 

 

Рис. 13.2

 

Аналогично направление вращения пластины и переносной скорости показаны на рис. 13.2 для случая, когда . В этом случае и . Если же будет , то вектор будет направлен в противоположную сторону и равен по модулю ; момент количества движения будет равен:

 

.

 

Таким образом, и для момента вектора в обоих случаях ( и ) получили одинаковое выражение . Следовательно, при любых знаках величин и момент количества движения груза:

.

 

Вычислим и . Из :

.

Из . Следовательно:

.

Из по теореме косинусов:

 

.

 

Из :

.

Поэтому:

.

Подставляя и в выражение для и прибавив к нему кинетический момент пластины, получим выражение для кинетического момента системы, который по доказанному ранее равен нулю:

 

.

 

После подстановки числовых значений получаем:

,

откуда

,

или

.

 

Чтобы определить значение в момент прихода груза в точку , замечаем, что в этот момент , или ; откуда с. При с получаем .

 

Практическое занятие 14

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-01 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: