Прогнозирование, основанное на авторегрессионных моделях, используется в случаях, если обнаруживается, что значения отклика в некоторой точке временного ряда сильно коррелировано с несколькими предшествующими и/или последующими значениями. Действительно, для многих явлений их современное состояние функционально определяется предшествующими состояниями системы, в большей степени недавними, в гораздо меньшей – далеко отстоящими от заданного по временному ряду. Подобные связи принято называть автокорреляцией – корреляцией ряда с самим собой.
Автокорреляция первого порядка характеризует тесноту связи между соседними значениями временного ряда, автокорреляция второго порядка – между отстоящими друг от друга на два периода и т.д. И вообще, автокорреляция n-го порядка относится к степени связанности откликов, разнесенных на n периодов. Предполагая, что возникшая связь между значениями сохранится некоторое время в будущем, мы получаем механизм прогнозирования, основанный на построении регрессии точек ряда на самих себя, то есть – авторегрессии.
Авторегрессионные модели разных порядков – первого, второго, в общем случае n-ого – можно описать уравнениями следующего вида:
|
где b 0 - константа (свободный член) авторегрессионного уравнения, b 1, b2,... bn – коэффициенты авторегрессии, Yi- величина отклика в некоторый момент времени, Yi–1, Yi–2,...Yi–n– соответственно отклики одним, двумя,...n периодами ранее заданного, ε – не коррелированная случайная компонента, присутствующая в отклике и связанная с ошибками наблюдения и погрешностями модели.
Применяя средства регрессионного анализа среды Excel, можно строить авторегрессионные зависимости также, как и простые уравнения регрессии. Зависимой переменной при построении авторегрессии первого порядка будет сам временной ряд, а независимой – он же, но смещенный на одно значение вниз. Таким образом, второе значение ряда будет определяться регрессией на первой значение, третье – регрессией на второе и так далее.
Пример 2. Используя данные о численности населения Оренбургской области (Приложение Б) произвести прогноз до 2020 г. на основе авторегрессионной модели первого порядка.
В результате расчетов получим авторегрессионную модель, используемую для прогнозирования вида:
, (6)
где b0 =114,72;
b1 = 0,94.
На рисунке 1 приведены результаты построения уравнения авторегрессии первого порядка.
Рисунок 1 - Результаты построения уравнения авторегрессии первого порядка
Полученная модель отвечает всем необходимым требованиям (качество модели оценивается по коэффициентам детерминации, Фишера, Стьюдента, представляемые в рабочем окне MS Excel во время расчета).
Задание к лабораторной работе 1. Для данных, представленных в таблице Приложения Б - Статистические данные о поступлениях загрязняющих веществ со сточными водами в водоемы и смертности населения по полу и основным классам причин смерти (человек) в Оренбургской областипостроить уравнения регрессии и авторегрессии, произвести необходимые прогнозы.