Построение однофакторных моделей

Тема «Моделирование и прогнозирование социально-экономических процессов»

Построение однофакторных моделей

Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

у = а₀+а₁ х (1)

где у – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

а_0, а₁ – коэффициенты уравнения регрессии.

Поскольку а₀ является средним значением у в точке х = 0, экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна.

Коэффициент парной линейной регрессии а₁ имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака х на одну единицу его измерения, т.е. вариацию у, приходящуюся на единицу вариации х. Знак а₁ показывает направление этого изменения. Параметры уравнения а_0, а₁ находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений, т.е. в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных у_i от выровненных у.

(2)

Для нахождения минимума данной функции приравнивают нулю ее частные производные и получают систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений.

(3)

Подставляя известные значения x и y находят значения искомых коэффициентов. Эти коэффициенты можно найти, используя среду MS Excel, Statistica и др.

Пример 1. Для данных, представленных в таблице 1 построить однофакторную регрессионную модель, произвести прогноз на основе полученной модели.

Таблица 1 – Данные об использованных (утилизированных) загрязняющих атмосферу веществ, число родившихся и умерших на 1000 человек в Российской Федерации

Решение. Определим, какой показатель используется в качестве результирующего показателя, какой в виде оказывающего влияние. Очевидно, что результирующими показателями Y_i являются: число родившихся (Y₁), число умерших на 1000 человек (Y₂). А данные об использованных (утилизированных) загрязняющих атмосферу веществ как оказывающие влияние на Y_i, т.е. факторный показатель – X. Используя возможности MS Excel (данные → анализ данных) построим регрессионные зависимости. В результате получены следующие регрессионные уравнения:

(4)

Судя по полученным результатам, наилучшее по качеству уравнение регрессии – Y₂^*, то есть исследование влияния использованных (утилизированных) загрязняющих атмосферу веществ на число умерших на 1000 человек населения в Российской Федерации. С целью прогнозирования числа умерших в зависимости от влияния использованных (утилизированных) загрязняющих атмосферу веществ необходимо в модельные значения уравнения регрессии (3.4) подставить предполагаемые значения Х. Так, например при Х = 30 (млн.тонн) Y₂^*= 13,5 на 1000 человек населения; при Х= 40 (млн.тонн) Y₂^*= 12,9 на 1000 человек населения; при Х= 50 (млн.тонн) Y₂^*= 12, на 1000 человек населения и т.д. Таким образом, чем больше утилизировано загрязняющих веществ, тем меньше число умерших.