Сумма углов треугольника
А. Теорема. Сумма углов любого треугольника равна __________.
Доказательство.
Дано: D АВС (рис. 101).
Доказать: Ð А + Ð В + Ð__= ________.
Рис. 101 Рис. 102 Рис. 103
Сумма любого угла треугольника, угла А и смежного с ним угла равна ______о. Например, Ð А +
+ Ð МАВ = ______о (рис. 102).
Теорема будет доказана, если удастся доказать: Ð МАВ можно разделить на два угла таким образом, чтобы один из них был равен углу _____, а второй – углу ____. Сделать это можно, например, проведя через вершину А прямую, параллельную прямой _______ (рис. 103).
Ð DАВ и Ð В – ________________________ лежащие при пересечении параллельных _______ и _______ секущей ____; Ð MAD и Ð C – ______________________ лежащие при пересечении параллельных ______ и ______ секущей ____. Следовательно, Ð А + Ð В + Ð___ = ________. Теорема доказана.
А1. Докажите, что если в треугольниках АВС и МКN (рис. 104) ВС = МN, ÐС = ÐМ, ÐК = ÐА, то D АВС = D МКN.
Рис. 104
Решение. Поскольку в условии говорится только о равенстве сторон _____ и _____, попробуем применить __________________ признак равенства тре-
(первый; второй; третий)
угольников. К стороне ВС прилежат углы _____ и _____; к равной ей стороне _____ прилежат углы ______ и ______. Углы С и ___ равны по условию. Остается доказать, что Ð_____ = Ð_____.
Ð_____ = _____о – (Ð___ + Ð___);
Ð М = _____о – (Ð___ + Ð___).
Так как Ð А = Ð__, ÐС = Ð___, то Ð___ = Ð___. Равенство треугольников доказано.
Б. Угол, смежный с любым углом треугольника, называется _____________________ углом треугольника.
Доказывая теорему о сумме углов треугольника, мы установили, что
внешний угол треугольника равен ___________ внутренних углов, которые _____________________ с (смежные; несмежные)
этим внешним углом.
В. _________________________________________
(существуют треугольники; не существует треугольников)
с двумя тупыми или с двумя прямыми углами. Если один из углов треугольника прямой или тупой, то два остальных угла ___________________.
Треугольник, у которого все три угла острые называется ___________________________.
Треугольник, у которого один из углов тупой, называется ___________________________.
Треугольник, у которого один из углов прямой, называется ________________________. Стороны прямого угла прямоугольного треугольника называются _________________________, а сторона, которая лежит против прямого угла называется ___________________.
В1. В треугольнике МКЕ Ð М = 42о, Ð Е = 48о. 1) Установите, какой это треугольник: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный. 2) Если треугольник прямоугольный, укажите его катеты и гипотенузу.
Решение. 1) Сумма всех углов треугольника равна ______. Поэтому Ð К = ______о – (_____о + _____о) = ______. Треугольник МКЕ – ___________________.
2) Гипотенузой прямоугольного треугольника МКЕ является сторона ______, лежащая против _________________ угла.
(острого; прямого)
Катетами являются стороны треугольника ______ и ______, между которыми лежит _________________ угол.
Соотношения между сторонами и углами треугольника
А. Теорема. В любом треугольнике против большей стороны лежит ________________ угол.
Доказательство.
Дано: МК > ЕК (рис. 105).
Доказать: Ð E > Ð______.
Рис. 105 Рис. 106
Мы умеем сравнивать углы при основании равнобедренного треугольника – эти углы ________________. Равнобедренный треугольник, углы которого связаны с углами М и Е, получится, если на большей стороне МК от вершины К отложить отрезок КО = КЕ (рис. 106).
Треугольник ОКЕ – _________________________ с основанием _____, и потому Ð КЕО = Ð______. Поскольку Ð КЕО – часть угла Е треугольника МЕК,
Ð Е ____ Ð КОЕ.
(>; <)
Ð КОЕ – _________________ угол треугольника МОЕ, он равен ________________ внутренних углов МОЕ и _________, которые с ним не смежные, и потому Ð М ____ Ð КОЕ.
(>; <)
Следовательно, Ð_____ > Ð______. Теорема доказана.
А1. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме об углах, лежащих против неравных сторон треугольника.
Решение. Чтобы сформулировать теорему, обратную теореме об углах, лежащих против неравных сторон треугольника, надо выделить в исходной теореме ______________________ часть, _________________ и _________________.
Разъяснительная часть исходной теоремы должна содержать указание на то, что в ней речь идет о ________________. Удобно каким-либо образом
(какой фигуре?)
обозначить треугольник, например, D АВС.
Условие исходной теоремы говорит о том, что две стороны треугольника АВС ____________________ и (равны; не равны)
какая из них больше.
Заключение исходной теоремы говорит о том, что тот угол, который лежит против большей стороны, ___________.
Исходная теорема может быть записана, например, так.
Рассмотрим любой треугольник АВС. Если АВ ____ ВС, то Ð_____ > Ð_____.
Чтобы получить формулировку обратной теоремы, надо оставить без изменения _________________часть исходной теоремы, а ее условие и заключение _______________ местами.
Обратная теорема может быть записана так.
Рассмотрим любой _______________________ АВС. Если _____________, то _____________.
Ту же теорему можно записать, включив разъяснительную часть в ____________________.
Если в треугольнике АВС _____________, то _____________.
Докажем обратную теорему.
Если выполняется условие теоремы, т.е. Ð С > Ð А, то возможны лишь три вывода о длинах сторон АВ и ВС: 1) АВ = ВС; 2) АВ < ВС и 3) АВ ___ ВС.
Первый вывод ___________________, так как в
(возможен; невозможен)
равнобедренном треугольнике углы при основании ______________. А по условию АВ ___ ВС.
Второй вывод ___________________, так как ис- (возможен; невозможен)
ходная теорема утверждает, что в этом случае против большей стороны лежит ________________ угол. А это противоречит условию обратной теоремы. Следовательно, верен третий из всех возможных случаев: АВ ___ ВС. Теорема доказана.
А2. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из катетов.
Доказательство. Гипотенуза в прямоугольном треугольнике лежит против ______________ угла, ка (острого; прямого)
тет – против ______________. Так как прямой угол (острого; прямого)
_______________ острого, гипотенуза _____________
(больше; меньше) (больше; меньше)
катета. Что и требовалось доказать.
А3. Докажите, что если в треугольнике АВС Ð А = Ð С, то треугольник АВС равнобедренныйс основанием АС.
Доказательство. В треугольнике АВС стороны, которые лежат против равных углов А и С, могут быть либо равными, либо _________________. Если они оказались бы не равными, то против большей стороны оказался бы ______________ угол. А по условию Ð А ___Ð С. Следовательно, лежащие против равных углов стороны обязательно ______________.
Б. Теорема. Каждая сторона треугольника ______________, чем сумма двух других сторон.
(больше; меньше)
Доказательство. Докажем, например, что даже наибольшая сторона МС треугольника МКС (рис. 107) ____________, чем сумма двух других сторон.
Рис. 107 Рис. 108
Построим треугольник, у которого одной из сторон является сторона _____, с которой надо сравнивать сумму двух других сторон, а второй стороной – отрезок, равный сумме отрезков _____ и ______. Для этого отложим на луче СК отрезок KN, равный стороне _____ (рис. 108).
В получившемся треугольнике MNC сторона МС лежит против угла _________, сторона NC, равная МК + ______, лежит против угла ________. Требуется установить, что Ð_____ > Ð_____.
Действительно, Ð NMK = Ð_______ (как углы при _______________ равнобедренного треугольника _____). Луч МК делит Ð______ на два угла и потому Ð NMC ___ Ð MNC. Следовательно, МС ___ МК + ______. Теорема доказана.
Б1. Докажите, что если точки А, В, С не лежат на одной прямой, то АВ __ АС + ВС, АС ___ АB + _____, ____ < ____ + ____.
Решение. Точки А, В, С являются _______________ треугольника. Любая сторона треугольника _______________, чем ______________ двух других сторон. Что и требовалось доказать.
D
Б2. Основание MN равнобедренного треугольника MNC равно 22 см. Найдите боковые стороны этого треугольника, если его периметр 6 дм.
Решение. Периметр треугольника это _______________ всех его сторон. Зная, что основание равнобедренного треугольника равно ____ дм, можно найти сумму сторон ______ и ______. Она равна _____ см – ___________ = _______ см.
Так как треугольник по условию___________, то боковые стороны ____________, т.е. ____ = ____ = ________