ОПРЕДЕЛИТЕ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙИ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ.





 

истема m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У или СЛУ в разных источниках) в линейной алгебре — это система уравнение вида

(1)

 

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. Коэффициенты системы a11, a12, …, amn и свободные члены b1, b2, … bm предполагаются известными[1]. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[2].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе —неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется недоопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой

 

Прямые методы дают алгоритм, по которому можно найти точное решение СЛАУ. И если бы точность была абсолютной, они бы нашли его. Реальная ЭВМ, естественно, работает с погрешностью, поэтому решение будет приближённым.

Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Прямые методы[править | править вики-текст]

· Метод Гаусса

· Метод Гаусса — Жордана

· Метод Крамера

· Матричный метод

· Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)

· Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)

· Метод вращений[3]

Итерационные методы[править | править вики-текст]

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

,

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

.

Итерационные методы делятся на несколько типов, в зависимости от применяемого подхода:

· Основанные на расщеплении:

· Вариационного типа:

· Проекционного типа:

Среди итерационных методов можно отметить самые популярные:

· Метод Якоби (метод простой итерации)[источник не указан 1377 дней]

· Метод Гаусса — Зейделя

· Метод релаксации

· Многосеточный метод

· Метод Монтанте

· Метод Абрамова (пригоден для решения небольших СЛАУ)

· Метод обобщённых минимальных невязок (англ.)

· Метод бисопряженных градиентов

· Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов

· Квадратичный метод бисопряжённых градиентов (англ.)

· Метод квази-минимальных невязок (QMR)

·





Читайте также:
Теория по геометрии 7-9 класс: Смежные углы – два угла, у которых одна...
Образование Киргизкой (Казахской) АССР: Предметом изучения Современной истории Казахстана являются ...
Общие формулы органических соединений основных классов: Алгоритм составления формул изомеров алканов...
Понятие о дефектах. Виды дефектов и их характеристика: В процессе эксплуатации автомобилей происходит...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.015 с.