Вариационный ряд — последовательность 
, полученная в результате расположения в порядке неубывания исходной последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин 
. Вариационный ряд и его члены представляют собой так называемые порядковые статистики, и используются в математической статистике как основа непараметрических методов. По функции распределения 
исходных случайных величин вычисляются распределения любого члена вариационного ряда и совместные распределения его членов[1][2].
Вариационный ряд служит для построения функции эмпирического распределения 
, где 
— число членов вариационного ряда меньших 
, которая является оценкой функции распределения случайных величин . Согласно теореме Гливенко — Кантелли эта фундаментальная непараметрическая статистика сходится к функции распределения почти наверное.
Величина 
называется k -й порядковой статистикой.
Крайние члены 
и 
называются экстремальными значениями вариационного ряда.
Промежуток 
между крайними членами вариационного ряда называется интервалом варьирования, его длина 
называется размахом выборки.
Величина 
при нечётном 
или величина 
при чётном 
называется выборочной медианой и служит оценкой медианы распределения.
Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями (его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка та
Таблица 1
блицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности (Табл.1).
|
|
Х Х1 Х2 ….. Хn
Р Р1 Р2 ….. Рn
Сумма вероятностей второй строки таблицы 1, равна единице: P1+P2+….+Pn=1
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛЕЧИНЫ(МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ, СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ) И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ.
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Если дискретная случайная величина принимает только значения x1, x2,..., xn, вероятности которых соответственно равны p1, p2,..., pn. Тогда математическим ожидание определяется равенством:
| M (X) = x1p1 + x2p2 +...+ xnpn. | (3.1) |
Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:
Х 5 4 3
Р 0.2 0.5 0.3
Решение. По формуле (3.1) находим математическое ожидание:
M (X) = 5*0,2 + 4*0,5 + 3*0,3 = 3,3.
Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то
| (3.2) |
На практике часто приходится оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
| D (X) = M [X - M (X)]2. | (3.3) |
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распредения
Х 1 2 5
Р 0.3 0.5 0.2
Решение. По формуле (3.1) находим математическое ожидание:
M (X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3.
Используя формулу (3.3) записываем все возможные значения квадрата отклонения:
|
|
[X1 - M (X)]2 = (1 - 2,3)2 = 1,69;
[X2 - M (X)]2 = (2 - 2,3)2 = 0,09;
[X3 - M (X)]2 = (5 - 2,3)2 = 7,29.
Тогда закон распределения квадрата отклонения имеет следующий вид:
[X-M(X)]^2 1,69 0,09 7,29
P 0,3 0,5 0,2
По формуле (3.3) находим дисперсию:
D (X) = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01.
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
| D (X) = M (X2) - [M (X)]2 |
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии: 