критерий минимального ожидаемого риска

Критерий максимального ожидаемого платежа

Принятие решений по критерию максимального ожидаемого платежа основывается на модельном представлении операции в виде платежной матрицы. Выбор наилучшего решения осуществляется по максимальному значению ожидаемого платежа среди ожидаемых платежей для всех возможных решений.

1. Считаем ожидаемый платеж для каждой строке по формуле ai = ai1*p1+ai2*p2+…+ain*pn

2. Выбираем максимальное его значение по строкам.

Альтернативы	Состояния Природы	МОП
c1	c2	…	cn
A1	a11	a12	…	a1n	a1=a11p1+a12p2+…+a1npn
A2	a21	a22	...	a2n	a2=a21p1+a22p2+..+a2npn
…	…	…	…	…	…
An	an1	an2	…	ann	an=an1p1+an2p2+…+annpn
веротности	p1	p2	…	pn	p1+p2+…+pn=1

критерий минимального ожидаемого риска

Данный метод принятия решения основывается на матрице рисков и величине ожидаемого риска, вычисляемого для каждого решения.

1. Считаем ожидаемый риск для каждой строки по формуле ri =ri1*p1+ri2*p2+…+rin*pn

2. Выбираем самое маленькое его значение по строкам, это и есть ответ.

Альтернативы	Состояния Природы	МОР
c1	c2	…	cn
A1	r11	r12	…	r1n	r1=r11p1+r12p2+…+r1npn
A2	r21	r22	…	r2n	r2=r21p1+r22p2+…+r2npn
…	…	…	…	…	…
An	rn1	rn2	…	rnn	rn=rn1p1+rn2p2+…+rnnpn
Вероятности	p1	p2	…	pn	p1+p2+…+pn=1

 

 

§ Неопределенность

Модели принятия решений в условиях полной неопределенности характеризуются наличием нескольких состояний Природы, нескольких альтернатив, а также тем, что вероятности наступления состояний Природы неизвестны. При принятии решения допускается, что вероятности по умолчанию одинаковы.

 

· Лаплас

Особенность этого критерия заключается в том, что любое состояние природы может наступить с одинаковой вероятностью.

Алгоритм:

1. построить платежную матрицу

2. в каждой строке платежной матрицы посчитать сумму платежей для каждого состояния природы. Т.е. l_i(критерий Лапласа) = a_i1 + a_{i2 …} + a_in

3. выбрать максимальное значение критерия Лапласса, что и будет наилучгим решением

· Вальд

Максиминный критерий Вальда (или критерий пессимизма) – при выборе решений ЛПР ориентируется на наступление наихудших условий.

Выбранное решение по этому критерию позволяет получить выгоду даже при наступлении неблагоприятного состояния природы. Этот критерий применим для осторожного и не склонного к риску ЛПР.

Алгоритм применения критерия Вальда:

1. построить платежную матрицу

2. в каждой строке платежной матрицы (i) выбрать минимальную вел-ну платежа

3. из всех минимальных платежей выбрать самый максимальный платеж, что и будет наилучшим решением.

a_i =max{min a_ij}

· Максимасный

Критерий оптимизма. ЛПР, который принимает решения согласно этому критерию, склонен к риску и считает, что обязательно наступит такое состояние природы, при котором его выигрыш будет максимальным.

Алгоритм:

1. строим платежную матрицу

2. в каждой строке платежной матрицы, соответствующей определенной альтернативе выбрать максимальное значение (платежа)

3. из всех максимальных платежей выбрать самое максимальное значение, что и будет наилучшим решением

a_i =max{mах a_ij}

· Сэвидж

Критерий относится к пессимистичным критериям. ЛПР, который принимает решения по этому критерию, считает, что надо готовится к наступлению наихудшего состоянию природы. Отличие этого критерия в том, что он оперирует с матрицей рисков, построенной на основе матрицы платежей.

Алгоритм:

1. построить платежную матрицу

2. в каждом столбце платежной матрицы надо определить максимальный платеж, после чего вычесть из максимального платежа поочередно каждое значение из этого столбца.

C1

 

Риск	r1
8-2
8-8
8-5

 

3. строим матрицу рисков

4. в каждой строке матрицы рисков (i), соответствующей определенному возможному решению, выбираем максимальный риск

5. из всех найденных максимальных рисков выбираем самый минимальный, решение соответствующее ему и будет наилучшим.

· Гурвиц

В критерии Гурвица по платежной матрице для каждого возможного решения(в каждой строке) вычисляем выражение:

H = max {α* min a_ij + (1- α) max a_ij }, где коэффициент α определяется ЛПР исходя из своих индивидуальных соображений и своей склонности к риску. 0≤α≤1.

Алгоритм:

1. Построить платежную матрицу

2. В каждой строке платежной матрицы решения выбрать минимальный платеж (как в критерии Вальда) и максимальный платеж (как в максимаксном критерии)

3. Назначить критерии α

4. Для каждого решения рассчитать H = max {α* min a_ij + (1- α) max a_ij }

5. Решение, соответствующее максимальному значению H и будет наилучшим

· Принятие решений в условиях неопределенности

o Природа

Природа – объективно существующие условия или обстановка, в которых приходится принимать решения, на которые человек не может оказать воздействие и которые наступают независимо от его действий.

Особенности:

1. объективность – т.е. независимость от желаний и действий человека

2. нейтральность – т.е. активно не противостоит действиям человека, не игрок

o Платежная матрица

Структурирует операцию, проводимую в условиях неопределенности, относительно наступления тех или иных состояний природы, помогает ЛПР смоделировать множество альтернатив и состояний природы и принять обоснованное решение.

Альтернативы	Платежи при различных состояниях природы
С1	С2	…	Сn
A1	A11	A12	…	A1n
A2	A21	A22	…	A2n
…	…	…	…	…
am	Am1	Am2	…	amn

Составляется след образом:

· Исходя из проводимой операции или мероприятия, в котором необходимо принимать решения, определяется состояние природы

· Определяются все возможные состояния природы, которые могут реализовываться в действительности

· Вырабатываются все возможные варианты решений

· Определяется формула для расчета величины платежа (выигрыша или проигрыша)

· Последовательно, одно за другим, начиная с первого, просматривается каждое решение при каждом состоянии природы и определяются значения платежей.

o Дерево решений

Дерево решений используется в моделях принятия решений в условиях риска и отражают структуру проблемы, где необходимо принять решение.

Дерево решений – это графическое представление процесса принятия решения, в котором отображаются все возможные варианты решений, состояния природы, вероятности их наступления, а так же платежи при различных состояниях природы и возможных решений.

Дерево решений состоит из узлов и ветвей, которые в свою очередь могут быть трех видов.

Виды узлов:

1. узел решений – момент времени, когда ЛПР принимает решение

2.

Узел событий - соответствует моменту времени, в котором исходы решений носят случайный характер

3. конечный узел, которым заканчиваются все ветви решений или ветви событий

Ветви:

1. Ветви решений исходят из узла решений и соответствуют возможным решениям, возле ветвей решений проставляются величины затрат, связанные с принятием данного решения.

2. Ветви событий исходят из узла событий и соответствуют случайным исходам решений.

3. Конечные ветви заканчивают дерево решений и оканчиваются конечным узлом

 

 

o Многокритериальные задачи

1. F1(x)=>max(min)
F2(x)=>max(min)
………………………..
Fn(x)=>max(min)

2. XэОДР

3. Субъективность (А1>A2>A3)

Методы решения

1. Метод ведущего критерия

o Ранжировать критерии в порядке валености F1>F2…>Fn

o Берется каждый критерий Fi, и для него решается обычная задача оптимизации Fi=>max(min)

o Находится max или min Fi каждого

o Выбираете главный критерий F1, а все остальные критерии становятся ограниченными
Если Fi=> max, то
Fi>= Fimax-∆F1
Если Fi=> min,то
Fi<=Fimin+∆F1, где ∆F1 – уступка

o Конечный вид задачи
F1=> max (min)
Fi<=Fi min+ ∆Fi

2. Метод последовательных уступок

o F1>F2>…>Fn

o Оставляем самый высокий критерий, остальное отбрасываем. Решаем задачу обычную для самого важного, F1=> max(min)

o Находим F1 max(min)

o ЛПР назначает уступку ∆F1
Если F1=>max,то F1>=F1max-∆F1
Если F1=>min,то F1<=F1max+∆F1

o F2=>max(min)
F1>=F1max-∆Fi
F2<=F1min+∆Fi
F2 max F2 min
Уст ∆F2
F2>=F2max-∆F2

F2<=F2min+∆F2

o F3=>max(min)
F1>=F1max-∆F1
F1<=F1min+∆F1
F2>=F2max-∆F2
F2<=F2min+∆F2
F3max F3min
…………………………..
Fn=>max(min)
Fn-1>= Fn-1max-∆ Fn-1
F Fn-1<=F Fn-1min+∆ Fn-1

3. Метод свертывания критериев в 1 глобальный критерий

F1,F2,…,Fn
F=W1F1+W2F2+…+WnFn
W- весовые коэффициенты, W1+W2+…+Wn=1. Они выбираются в зависимости от предпочтений ЛПР.
Fi max Fi’=Fi\Fmax, если Fi=>max
Fi’= 1-Fi/Fi max, если Fi=>min

Обезразмеривание:

a. Определяются все Fi max

b. Выделяют те критерии, которые максимируют и те, которые минимизируют

c. Обезразмеривают

d. ЛПР назначает весовые коэффициенты

e. Формируется глобальный критерий по формуле, и F=>max

4. Метод Парето

Если для X’ и X” э Х справедливо, то X’ > X”

Оптимальное решение- множество несравнимых между собой решений.

F(x’)>=F(x”), если Fi(x’)>=Fi>=(x”), i=k Fi(x’)>Fi(x”)

5. Метод лексикографических отношений

X’>x”, если F1(x’)>F1(F”), или F1(x’)=F1(x”), a F2(x’)>F2(X”)
или F1(x’)=F1(x”), F2(x’)=F2(x”) или F1(x’)=F1(x”), F2(x’)=F2(x”), F3(x’)>F(x”) или F1(x’)=F1(x”),…,
F_n-1(x’)=F _n-1(x”), Fn(x1)>Fn(x”)

6. Метод Т. Саати, анализ иерархий