ЛЕКЦИЯ №1
Теория вероятностей – это наука о случайных событиях. Понятие события принадлежит к числу основных и поэтому с трудом поддающихся определению.
Событием можно считать все то, что может произойти или не произойти при осуществлении определенного комплекса условий; каждое такое осуществление называется испытанием.
Событие может состоять в том, что некоторое изделие, выбранное из партии готовых изделий, окажется бракованным. В этом случае испытанием будет служить выборка изделия из партии.
Событие может состоять в том, что в какой-то день над Минском пройдет дождь, тогда испытание будет состоять в наступлении дня.
Характерной чертой случайного события является то, что в результате испытания оно происходит не обязательно. Случайность события связана с тем, что многие факторы, сопутствующие испытанию и существенные для его исхода, не задаются. Предположение о непредсказуемости результатов отдельных испытаний лежит в основе ряда наук, таких как квантовая механика, генетика, социология.
Закономерности случайных событий проявляются при многократном повторении испытаний. Теория вероятностей изучает эти закономерности.
Итак, результат опыта или испытания мы называем событием.
Даже в обыденной жизни мы часто называем одно событие очень вероятным, а другое – маловероятным. Важнейший чертой теории вероятностей является то, что в ней говорится не просто о большой или малой вероятности события, а о точном численном значении этой вероятности, т.е. вероятность считается объективной величиной, характеризующей возможность наступления того или иного события.
В основе теории вероятностей лежат определения ряда основных понятий. Мы уже ввели понятие «событие», «случайная величина», «испытание». Введем еще ряд определений, которые будем использовать в дальнейшем.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Например, выбор белого шара из коробки, где лежат десять белых шаров.
Невозможным называется событие, которое в условиях данного опыта не может произойти. Например, нельзя вынуть черный шар из коробки, где находятся десять белых шаров.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в условиях одного и того же опыта.
Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло или нет другое. В противном случае события называются зависимыми.
Если события зависимые, то вводят понятие условной вероятности:
Р(А/В) – вероятность события А при условии, что В – произошло (или Р(В/А)).
Получение студентом на экзамене оценки 5 исключает получение этим же студентом на этом экзамене другой какой-то оценки.
Событие 
, которое обязательно произойдет, если не произойдет событие А, называется противоположным событию А. Например, попадание и промах при выстреле по мишени – противоположные события.
Говорят, что несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них. Например, события получения каждой из оценок на экзамене (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) образуют полную группу событий в опыте сдачи экзамена.
Следует отдельно выделить полную группу несовместных событий, т.е. такую группу событий, что в результате данного испытания непременно произойдет одно и только одно событие данной группы.
При бросании игральной кости возможны события (А 1 – появление одного очка, А 2 - появление двух очков, А 3 - появление трех очков и т.д.). Все эти события образуют полную группу несовместных событий. Они же являются независимыми событиями. Очевидно, что противоположные события образуют полную группу событий.
Для качественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится определенная мера, которая называется вероятностью события. Итак, вероятностью события А будем называть число:
, (1)
где 
- число исходов, благоприятствующих появлению события А в опыте;
- общее число исходов.
Пример 1. В конверте десять лотерейных билетов, четыре из них выигрышные. Из конверта наугад извлекают два билета. Найти вероятность того, что:
а) оба билета выигрышные;
б) оба билета без выигрыша;
в) один билет выигрышный, а другой – нет.
Решение
Пусть А – событие, состоящее в том, что оба билета выигрышные;
В – оба билета без выигрыша;
С – один билет выигрышный, а другой – нет.
а) Выбор двух билетов из десяти можно осуществить 
способами, а двух выигрышных билетов из четырех - 
способами.
Тогда
б) Имеется 
возможностей выбора билетов без выигрыша. Значит:
.
в) Существует четыре возможности вытянуть выигрышный билет и шесть возможностей – билет без выигрыша. Каждая возможность из группы выигрышных билетов сочетается с шестью возможностями из группы билетов без выигрыша, т.е. имеется 
возможностей вытянуть один билет с выигрышем, а другой – без выигрыша. Тогда:
.
Пример 2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартных и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, неизвестно какая. Наудачу извлеченная из ящика деталь (после перевозки) оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна:
а) стандартная деталь;
б) нестандартная деталь.
Решение
а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть потеряна; могла быть потеряна любая из остальных тридцати деталей 
, причем, среди них было двадцать стандартных 
.
Вероятность события А – потеряна стандартная деталь равна:
.
б) Среди тридцати деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было десять нестандартных.
Вероятность события В – утеряна нестандартная деталь равна:
.
Свойства вероятности события:
Вероятность события обладает следующими свойствами:
1. Для любого события А: 
;
2. Вероятность независимого события (
): 
.
3. Вероятность достоверного события (U): 
.
Теория вероятностей не занимается предсказаниями относительно исхода какого-либо одного события. Изучать случайные события можно только тогда, когда есть возможность повторить опыт многократно и каждый раз фиксировать наступление (или ненаступление) рассматриваемого события.
Теория вероятностей возникла в XVII веке в работах Паскаля, Ферма, Гюйгенса, причем ее первоначальное развитие связано с исследованием азартных игр. Случайные события, связанные с азартными играми, служат удобными моделями при изучении более сложных и важных практических задач, так как они отличаются простотой и, что очень важно, они дают возможность неограниченной экспериментальной проверки полученных закономерностей, так как именно в азартных играх можно сколько угодно раз ставить один и тот же опыт.
Теория вероятностей используется в физике, астрономии, экономике, лингвистике. В последнее время теория вероятностей стала основой развития многих новых научных направлений, таких, как математическая статистика, теория информации, теория массового обслуживания. Важную роль в развитии теории вероятностей сыграли Л. Бернулли, А. Муавр, П. Лаплас, К. Гаусс, С. Пуассон, П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, А.М. Колмогоров.
ЛЕКЦИЯ №2