Способы задания последовательностей.

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа

Урок….. Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) определение предела последовательности;

2) основные свойства пределов;

3) виды неопределенностей и способы их устранения;

4) правила вычисления пределов функции на бесконечности.

Глоссарий по теме

Занумерованный ряд чисел а₁, а₂,…, а_n,…называется числовой последовательность.

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого верно неравенство .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)

Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

Последовательность а₁, а₂,…,а_n.. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство выполняется для всех номеров n.

Последовательность ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство . Число m называют нижней границей последовательности.

Число b называется пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число: числу 1 соответствует число а, числу 2 – а₂, …, числу n – число а_n и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут а₁, а₂,…,а_n или (а_n), где а₁, а₂,…,а_n – члены последовательности.

Занумерованный ряд чисел а₁, а₂,…, а_n,…называется числовой последовательность.

Способы задания последовательностей.

Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена, т.е. формулы, явно выражающей зависимость n -го члена последовательности от n.

Например, формула а_n=2n задает последовательность четных чисел 2,4,6,8,….

Другим важным способом задания последовательности является рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-й член последовательности с одним или несколькими предыдущими.

Слово рекуррентный происходит от латинского слова recurrens, что означает «возврат». Вычисляя новый, очередной член последовательности, мы как бы возвращаемся назад и используем уже вычисленные предыдущие члены.

Например, рекуррентное соотношение a_n=a_n-1+2 вместе с уравнением a₁=1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2:1, 3, 5, 7,... Это не что иное, как последовательность нечетных чисел.

Так же последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности.