ПОНЯТИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУППЫ

ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

 

КАФЕДРА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

 

 

ОТЧЁТ О ПРОХОЖДЕНИИ УЧЕБНОЙ ПРАКТИКИ

 

ГРУППЫС КОНЕЧНЫМИ СОБСТВЕННЫМИ ПОДГРУППАМИ

Направление подготовки:	01.04.01 Математика и компьютерные науки
Направленность образовательной программы:	Фундаментальная математика
Выпускную квалификационную работу выполнил(а):	Студент 1 курса магистратуры очной формы обучения   _______________ Галимзянова Ленара Рустамовна
Руководитель выпускной квалификационной работы:	Профессор кафедры фундаментальной математики _______________ Азаров Дмитрий Николаевич

 

Иваново, 2022

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 3

ПОНЯТИЕ ГРУППЫИ ПОДГРУППЫ... 4

ПРОБЛЕМА О.Ю. ШМИДТА.. 10

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГРУПП С КОНЕЧНЫМИ СОБСТВЕННЫМИ ПОДГРУППАМИ.. 11

ЛИТЕРАТУРА.. 13

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Рассмотрим группы, обладающие следующим свойством:

(*) Группа бесконечна, но все её собственные подгруппы конечны.

Примеры групп с этим свойством существуют как среди абелевых групп, так и среди неабелевых. Примерами абелевых групп со свойством (*) являются квазициклические группы; причём других примеровгрупп со свойством (*) не существует, что было рассмотреноКурошем А.Г.

Долгое время оставался открытым вопрос о том, существуют ли группы со свойством (*) среди неабелевых групп. Этот вопрос известен, как проблема О.Ю. Шмидта, однако в 1980 г. А.Ю. Ольшанский решил эту проблему – построил пример бесконечной неабелевой группы, в которой все собственные группы конечны.

С понятием абелевой группы тесно связано определение коммутанта.

Коммутантом группы G называется её подгруппа G′, порождённая коммутаторами её элементов. Коммутатором элементов a и b группы G называется элемент [a,b] = a^-1_*b^-1a_*b.

Коммутант G′ группы G может совпадать с единичной подгруппой.В этом случае 1 ≤ G′≤G, то есть коммутант занимает некоторое промежуточное положение между 1 и G. Возможна «крайняя ситуация», когда G′=G – это случай, когда группа по своим свойствам наиболее далека от абелевых групп.

 

ПОНЯТИЕ ГРУППЫИ ПОДГРУППЫ

 

Напомним, что бинарной операцией на данном множестве называется отображение, которое каждой паре элементов a и b из этого множества ставит в соответствие некоторый вполне определенный элемент c из этого множества. Элемент сназывается результатом применения операции к элементам а и b. Бинарную операцию можно обозначать любым символом. Если бинарная операция обозначена символом «.» (символом «+»), то такая форма записи бинарной операции называется мультипликативной (аддитивной). При мультипликативной (аддитивной) записи бинарной операции результат её применения к элементам a и b обозначается через ab (a+b) и называется произведением (суммой) элементов a и b. Заметим, что при изучении свойств бинарной операции не имеет особого значения форма её записи. Но с другой стороны, в теории групп как правило используется мультипликативная запись бинарной операции.

Непустое множество G c бинарной операцией умножения называется группой если выполняются следующие условия (аксиомы группы).

1. Ассоциативность: для любых элементов a, b и c из G выполняется равенство (ab)c = a(bc).

2. Существует единичный элемент, т.е. такой элемент 1 из G, что для каждого элемента a из G выполняется равенство a1 = 1a = a.

3. Любой элемент а из G обратим, т.е. для каждого элемента а из G существует элемент а^-1 из G такой, что выполняется равенство аа^-1 = 1 = а^-1а (при этом элемент а^-1называется обратным для элемента а).

Группа называется коммутативной (или, в другой терминологии, абелевой), если для любых её элементов a и b выполняется равенство ab = ba. В теории абелевых групп наряду с мультипликативной формой записи бинарной операции используется также и аддитивная форма. При использовании аддитивной формы записи единичный элемент называют нулевым элементом, а обратный элемент – противоположным. На аддитивном языке аксиомы группы принимают следующий вид.

1. Ассоциативность: для любых элементов a, b и c из G выполняется равенство (a+b)+c = a+(b+c).

2. Существует нулевой элемент, т.е. такой элемент 0 из G, что для каждого элемента a из G выполняется равенство a+0 = 0+a = a.

3. Для каждого элемента а из G существует элемент -а из G такой, что выполняется равенство а+(-а) = 0 = (-а)+а (при этом элемент -а называется противоположным для элемента а). Важным разделом теории групп является теория конечных групп. Конечные группы – это группы, состоящие из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы G называется порядком группы G и обозначается |G|.

Также напомним определение подгруппы.

Пусть G – произвольная группа, Н – подмножество группы G. Говорят, что Н – подгруппа группы G и пишут Н ≤ G, если выполняются следующие условия.

1. 1 ∈ Н.

2. Подмножество Н замкнуто относительно умножения, т.е. для любых элементов х, у из G из того, что х ∈ Н и у ∈ Н следует, что ху∈ Н.

3. Для любого элемента х группы G из того, что х ∈ Н следует, что х^-1∈ Н.

Пусть Н ≤ G. Тогда в силу условия 2 умножение на группе G можно рассматривать как операцию на Н.

Относительно этой операции множество Н является группой (см. условия 1 и 3). Таким образом, любая подгруппа данной группы является самостоятельной группой.

Сформулируем определение подгруппы на аддитивном языке. Подмножество Н группы G называется подгруппой, если выполняются следующие условия.

1. 0 ∈ Н.

2. Подмножество Н замкнуто относительно сложения, т.е. для любых элементов х, у из G из того, что х ∈ Н иу ∈ Н следует, что х+у∈ Н.

3. Для любого элемента х группы G из того, что х ∈ Н следует, что –х∈ Н.

Приведём примеры групп и подгрупп.

Некоторые примеры групп:

1. Аддитивные числовые группы: Z – аддитивная группа целых чисел, Q – аддитивная группа рациональных чисел, R – аддитивная группа действительных чисел, C – аддитивная группа комплексных чисел. В качестве бинарной операции в каждой из этих групп выступает обычное сложение чисел. Роль нулевого элемента в каждой из этих групп играет число 0, в качестве противоположного элемента к данному числу выступает противоположное число.

2. Мультипликативные числовые группы: Z*={1, -1} – мультипликативная группа целых чисел, Q*=Q\0 –мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел, R*=R\0 – мультипликативная группа ненулевыхдействительных чисел, C*=C\0 – мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел. В качестве бинарной операции в каждой из этих групп выступает обычное умножение чисел. Роль единицы в каждой из этих групп играет число 1, в качестве обратного элемента к данному числу а выступает обратное число а^-1 =1/а.

 

3. Аддитивная группа Zn вычетов по модулю n. Здесь n – фиксированное натуральное число. Группа Zn состоит из n элементов 0, 1, 2,…, n-1. Сложение на группе Zn устроено следующим образом. Чтобы сложить элементы k и lгруппы Zn нужно сложить числа k и l, и разделить полученную сумму на n с остатком. Полученный остаток называется суммой элементов k и l группы Zn. Нулевым элементом этой группы служит элемент 0. В качестве элемента противоположного к элементу k выступает элемент n-k. Заметим, что группа Zn конечна и ее порядок равен n, т.е. |Zn| = n.

4. Общие линейные группы: GLn(Q) – общая линейная группа степени n над полем Q, GLn(R) – общая линейная группа степени n над полем R, GLn(C) – общая линейная группа степени n над полем C. Элементами этих групп являются квадратные матрицы размера n с ненулевыми определителями, коэффициенты которых принадлежат полям Q, R, и C соответственно. В качестве операций на данных группах рассматривается матричное умножение. Роль единичного элемента играет единичная матрица (на ее диагонали стоят числа равные 1, а все остальные элементы единичной матрицы равны нулю). В качестве элемента обратного для данной матрицы выступает обратная матрица (она существует, так как определители рассматриваемых матриц отличны от 0). Заметим, что общие линейные группы не абелевы, в то время как числовые группы и группы вычетов являются абелевыми.

Некоторые примеры подгрупп:

1. Аддитивные числовые группы Z, Q, R, C образуют цепочку подгрупп: Z ≤ Q ≤ R ≤ C.

2. Мультипликативные числовые группы Z*, Q*, R*, C* образуют цепочку подгрупп: Z* ≤ Q* ≤ R* ≤ C*.

3. Поставим теперь следующий вопрос: как устроены подгруппы в аддитивной группе Z целых чисел? Зафиксируем целое неотрицательное число n и рассмотрим множество nZ ={nq | q ∈ Z } всех целых чисел, делящихся (без остатка) на n. Легко видеть, что nZ ≤ Z. Можно доказать, что любая подгруппа группы Z имеет вид nZ. Таким образом, в группе Z существует бесконечно много подгрупп, и мы располагаем описанием всех подгрупп группы Z.

4. U ≤ C*, где U – множество всех комплексных чисел, модуль которых равен 1.

5. Cn ≤ C*, где Cn – множество всех комплексных корней из 1 фиксированной натуральной степени n, то есть Cn = {ε0, ε1, …, εn-1}, где εk = cos 2πk/n + i sin 2πk/n, k = 0, 1, 2, …, n-1.

6. Пусть K – одно из числовых полей Q, R, или C. В общей линейной группе GLn(K) рассмотрим подмножество SLn(K), состоящее из всех n×n матриц с коэффициентами из К, определитель которых равен 1. Тогда SLn(K) ≤ GLn(K). Подгруппа SLn(K) называется специальной линейной группой степени n над полем К.

7. В произвольной группе G можно указать по крайней мере две подгруппы: G ≤ G и {1} ≤ G. Подгруппа {1} называется единичной подгруппой. Обычно обозначение единичной подгруппы не отличается от обозначения единичного элемента, т.е. мы пишем 1 вместо {1}. При аддитивной записи групповой операции вместо единичной подгруппы следует говорить о нулевой подгруппе 0 = {0}.
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Группа G называется циклической, если в ней существует элемент а такой, что любой элемент группы G является степенью элемента а с целым показателем. При этом элемент а называется порождающим элементом группы G. Говорят также, что G – циклическая группа, порождённая элементом а.

Рассмотрим пример циклических групп.

Пусть C_n={ε₀, ε₁,…, ε_n-1} мультипликативная группа комплексных корней из 1 степени n. Напомним, что Ɐ k=0,…, n-1; ε_k= cos + i×sin.

Группа C_n является конечной циклической порядка n с порождающим элементом e ₁, поскольку для любого k = 0, …, n -1 e _k = cos + i×sin = (cos + i×sin)^k = e ₁^k. Заметим, что наряду с элементом e ₁ в группе C_n существуют и другие порождающие элементы. Например, для группы C ₄e₀ = 1, e ₁ = i, e ₂ = –1, e ₃ = – i и наряду с элементом i, порождающим будет также и элемент – i. В самом деле, 1 = (– i)⁴, i = (– i)³, –1 = (– i)², – i = (– i)¹. Заметим ещё, что элемент –1 не является порождающим, так как не любой элемент группы C₄ можно представить как степень элемента –1.

ПРОБЛЕМА О.Ю. ШМИДТА

 

Проблема Отто Шмидта формулируется так:

«Существуют ли не квазициклические группы, все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?»

В 1980 году выдающийся советско–российский алгебраист А.Ю. Ольшанский построил пример такой группы. Этот пример относится к числу наиболее значимых результатов теории групп.

А.Ю. Ольшанский построил бесконечную неабелеву группу, где все неединичные собственные подгруппы, которой имеют фиксированный простой порядок, то есть все они состоят из одного и того же простого числа элементов. Такие группы принято теперь называть монстрами Тарского или монстрами Тарского-Ольшанского. Эти группы очень сложно строятся, и они вполне оправдывают свое название. Что же такое монстр Тарского?

Определение 1:

Пусть p есть фиксированное простое число. Бесконечная группа G называется монстром Тарского для p, если все её собственные подгруппы, то есть все подгруппы, кроме тривиальной {1} и G, имеет p элементов.

Также монстр Тарского обладает некоторыми свойствами, а именно:

– Монстр Тарского конечно порождён.

– Монстр Тарского прост.(Не имеет нормальных подгрупп, отличных от группы и единичной подгруппы)

– По построению Ольшанского существует континуум неизоморфных монстров Тарского, где Ɐ p, p> 10⁷⁵.