Дисциплина: Математика
Группа: 11ТО,11Д,12Д,11П,11Т,11Эк
Тип урока: получение новых знаний
Тема: Основные понятия комбинаторики
Теоретический материал
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов.
Число всех перестановок порядка n равно факториалу: Pn=n!
Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
1! = 1,
2! = 2•1 = 2,
3! = 3 •2 •1 = 6,
4! = 4 •3 •2 •1 = 24,
Задача. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?
Решение:
На первое место можно положить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 4 • 3 • 2 • 1 = 4!.
Задача. На танцплощадке собрались 7 юношей и 7 девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?
Ответ: 7!
Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).
Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания: ab, ac, bc.
Число сочетаний из n элементов по k обозначают Cnk. Оно равно
Задача. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?
Решение: По формуле находим:
= 
120 комиссий
Ответ: 120 комиссий.
Размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.
В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).
Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.
Задача. В группе обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?
Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно 
. По формуле находим
Ответ: 12144 способа
Дисциплина: Математика
Группа: 11ТО,11Д,12Д,11П,11Т,11Эк
Тип урока: закрепление полученных знаний
Тема: Основные понятия комбинаторики
Практическое задание для закрепления материала
Задачи на перестановки
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»
Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?
Задачи на размещения
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов и в каждой выборке переставить их местами?»
Имеется 5 книг и одна полка, такая что на ней вмещается лишь 3 книги.
Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
Задачи на сочетания