МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«МАТИ- РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО»
Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Составители:
Егорова Ю.Б.
Мамонов И.М.
МОСКВА 2011
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделений факультета № 14 направлений подготовки бакалавров 150100.62, 160700.62, 220700.62, 230100.62. Методические указания служат методической основой для проведения практических занятий и выполнения индивидуальных заданий.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.1. Случайная величина – величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение.
Случайные величины обозначают прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения – строчными буквами x, y, z.
Случайные величины подразделяют на дискретные и непрерывные. В настоящих методических указаниях рассматриваются дискретные случайные величины.
1.2. Дискретная (прерывная) величина – величина, которая принимает отдельные, изолированные значения, т.е. между двумя соседними возможными значениями нет других значений. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным).
1.3. Случайные величины задаются с помощью закона распределения. Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать тремя способами: 1) таблицей; 2) графически; 3) аналитически.
1.3.1. При табличном задании закона распределения первая строка таблицы содержит возможные значения дискретной величины xi, а вторая – их вероятности рi:
| X | x1 | x2 | ... | xn |
| P | p1 | p2 | ... | pn |
Таблица называется рядом распределения. Сумма всех вероятностей равна единице: р1+р2+…+рn = 1.
1.3.2. При графическом способе задания в прямоугольной системе координат строят точки (xi, pi), а затем соединяют их отрезками прямых (только для наглядности). Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
ПРИМЕР 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти ряд распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Напишем возможные значения Х: x1 =50, x2 =1, x3 =0. Вероятности этих возможных значений:
p1 =1/100=0,01;
p2 =10/100=0,1;
p3 =89/100=0,89.
Напишем ряд распределения:
| Х | |||
| Р | 0,01 | 0,1 | 0,89 |
Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.
1.3.3. Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного х, т.е. F(x)=P(X<x). Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Свойства F(x):
1. Функция F(x) есть неубывающая функция;
2. Функция F(x) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: 0£ F(x)£ 1;
3. F(-µ) =0; F(+Ґ) = 1;
4. Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал от a до b равна: Р(a£Х<b)=F(b)- F(a).
Функцию распределения дискретной случайной величины Х можно получить на основе ряда распределения. Тогда эта функция выражается следующей формулой:
Cимвол xi<x под знаком суммы обозначает, что суммирование распространяется на все возможные значения случайной величины, которые по своей величине меньше аргумента х. Формулу (1) можно записать в следующем виде:
м0 при x£x1,
½ p1 при x1<xЈx2,
F(x) = н p1+p2 при x2<xЈx3,
½ ……………
о1 при х>хn.
Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через точки возможных ее значений х1, х2,…., хn, причем величина скачка равна вероятности соответствующего значения. Сумма всех скачков равна единице.
ПРИМЕР 2. Дискретная величина Х задана законом распределения:
| X | |||
| P | 0,5 | 0,2 | 0,3 |
Найти интегральную функцию F(x) и начертить ее график.
Решение.
1. Если хЈ2, то F(x) =0. Действительно, значений, меньших числа 2, величина F(x) не принимает. Следовательно, при х Ј2 функция F(x)=P(X<x) =0.
2. Если 2< x Ј4, то F(x) =0,5. Действительно, Х может принять значение 2 с вероятностью 0,5.
3. Если 4< x Ј7, то F(x) =0,7. Действительно, Х может принять значение 2 с вероятностью 0,5 и значение 4 с вероятностью 0,2. Следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,5+0,2=0,7.
4. Если х >7, то F(x) =1. Действительно, событие Х Ј7 достоверно и вероятность его равна единице.
Таким образом, искомая интегральная функция распределения дискретной величины Х имеет вид:
F(x) =0 при x Ј2;
F(x) =0,5 при 2< x Ј4;
F(x) =0,7 при 4< x Ј7;
F(x) =1 при х >7.
График этой функции приведен на рис. 1.
F(x)
 |
1,0
 |
0,7
0,5
 |
0 2 4 7 x
Рис. 1. График функции распределения F(x)
В рассмотренном примере значения случайной величины разделены интервалами, внутри которых других возможных значений нет. Характерно, что на этих интервалах функция распределения постоянна, т.е. график функции распределения представляет собой ступенчатую разрывную линию. Из графика видно, что при каждом новом значении случайной величины ступень поднимается на высоту, равную вероятности этого значения.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ
ВЕЛИЧИНАМИ
Пусть случайная величина Х имеет закон распределения:
| X | х1 | х2 | … | xi | … | хn |
| P | р1 | р2 | … | pi | … | рn |
Случайная величина Y имеет закон распределения:
| Y | y1 | y2 | … | yi | … | yn |
| P | p1 | p2 | … | pi | … | pn |
Произведением случайной величины X на постоянную С называется случайная величина Z=СХ, которая принимает значения zi=Сxi cтеми же вероятностями.
m-й степенью случайной величины X называется случайная величина Z=Хm, которая принимает значения zi = xim с теми же вероятностями.
Суммой (разностью) случайных величин X и Y называется случайная величина Z=X ± Y, которая принимает значения zi=xi ± yi cвероятностями:
P(Z=zi)=P[(X=xi)×(Y=yi)].
Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина Z= XY, которая принимает значения zi=xi × yi cвероятностями:
P(Z=zi)=P[(X=xi)×(Y=yi)].
Если случайные величины X и Y независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий:
P(Z=zi)= P[(X=xi)×(Y=yi)]=P(X=xi)×Р(Y=yi).
ПРИМЕР 3. Два стрелка стреляют по мишени, разделенной на три области. Попадание в первую область дает стрелку 3 очка, во вторую – 2 очка, в третью – 1 очко. Делается один выстрел. Случайные величины Х и Y – число очков, выбиваемых при одном выстреле первым и вторым стрелком, соответственно, – имеют законы распределения:
| X | Y | |||||||
| P | 0,2 | 0,8 | P | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Найти закон распределения для суммы очков, выбиваемых обоими стрелками.
Решение. Сумма очков, выбиваемых обоими стрелками, -случайная величина Z=X+Y. Рассмотрим все возможные результаты стрельбы двух стрелков. Для этого составим таблицу, в которой вероятность каждого результата вычисляется по правилу умножения вероятностей независимых событий X и Y, так как для того, чтобы произошло событие Z, необходимо, чтобы события X и Y произошли одновременно.
Таблица имеет следующий вид:
| № результата | x | y | z= x+ y | Вероятность результата |
| 0Ч0,2=0 | ||||
| 0Ч0,5=0 | ||||
| 0Ч0,3=0 | ||||
| 0,2Ч0,2=0,04 | ||||
| 0,2Ч0,5=0,1 | ||||
| 0,2Ч0,3=0,06 | ||||
| 0,8Ч0,2=0,16 | ||||
| 0,8Ч0,5=0,4 | ||||
| 0,8Ч0,3=0,24 |
Таблица показывает, что z= x+ y может принимать значения 2, 3, 4, 5 и 6:
z =2 в случае результата № 1, Р (z =2)=0;
z =3 в случае результатов № 2 или № 4, поэтому, для того чтобы z получила значение 3, необходимо наступление одного из результатов № 2 или № 4; вероятность этого по правилу сложения вероятностей равна сумме вероятностей этих результатов: Р (z=3)= 0+0,04=0,04;
z =4 в случае результатов или № 3, или № 5, или № 7, поэтому Р (z =4)=0+0,1+0,16=0,26;
z =5 в случае результатов или № 6, или № 8, поэтому Р (z =5)=0,06+0,4=0,46;
z =6 в случае результата № 9: Р (z =6)=0,24.
Таким образом, для случайной величины Z=X+Y получаем следующий ряд распределения:
| Z=X+Y | |||||
| Р(Z) | 0,04 | 0,26 | 0,46 | 0,24 |
Контроль: 0+0,04+0,26+0,46+0,24=1.