Задача: Функция спроса имеет вид QD=100 – 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции – 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.
Решение: Прибыль есть выручка минус издержки: П=TR – TC,
где TR=p*Q; TC=TFC+TVC.
Найдём цену единицы продукции: 20p=100 – Q p=5 – Q/20.
Тогда П=(5 – Q/20)Q – (50 + 2Q)= – Q2 + 60Q – 1000 р. Max
Найдём производную: П'(Q)= –2Q+60.
Приравняем производную к нулю: –2Q+60=0 Q=30.
При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ В
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
Задачи с применением дифференциалов
Широко используется в экономическом анализе понятие дифференциала, или главной линейной части приращения функции. Так, если некоторая величина у есть функция двух аргументов х, и х2, то с использованием дифференциала легко рассчитать предельную норму замены между этими аргументами, т. е. величину, показывающую, сколько нужно фактора 2 для замены одной единицы фактора 1 с сохранением значения функции у. Предельная норма замены важна в задачах потребительского выбора (взаимозаменяемость благ), в задачах оптимизации производства (взаимозаменяемость труда и капитала) и в ряде других задач.
Эффект финансового рычага
Дифференциал используется при измерении эффекта финансового рычага.
Эффект финансового левериджа (рычага) — это приращение к чистой рентабельности собственных средств предприятия (изменение показателя прибыли на акцию), получаемое благодаря использованию кредита (заемного капитала),несмотря на платность последнего. Таким образом, эффект финансового рычага отражает принцип роста доходов собственников за счет привлечения заемных средств.
Эффект финансового рычага измеряется дополнительной рентабельностью собственного капитала, полученной за счет использования заемных средств (кредитов) по сравнению с рентабельностью капитала финансово независимой организации:
ЭФР = (1-Нп/100)*(ЭР-ССПО)* (ЗК/СК), где:
· Нп — ставка налога на прибыль, в %;
· ЭР — экономическая рентабельность, в %;
· ССЛС — средняя расчетная ставка процентов по кредитам (заемным средствам);
· ЗК — стоимость заемного капитала;
· СК — стоимость собственного капитала;
· (ЭР — ССПС) — дифференциал рычага;
· ЗК/СК— плечо рычага.
Плечо финансового левериджа является рычагом, который вызывает положительный или отрицательный эффект, получаемый за счет дифференциала. При положительном значении дифференциала любой прирост коэффициента финансового левериджа будет вызывать еще больший прирост коэффициента рентабельности собственного капитала, а при отрицательном значении дифференциала прирост коэффициента финансового левериджа будет приводить к еще большему темпу снижения коэффициента рентабельности собственного капитала. Таким образом, при неизменном дифференциале плечо финансового левериджа является главным генератором как возрастания суммы и уровня прибыли на собственный капитал, так и финансового риска потери этой прибыли.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.
2. Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.
3. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).
4. Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическая интерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).
5. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономике.
6. Дифференциалы используются в экономических исследованиях не так широко, как производные, однако являются важными в некоторых их аспектах.