Задачи на нахождение средней скорости движения

Если S – путь, пройденный телом, а t – время, за которое этот путь пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле:

Если путь состоит из нескольких участков, то для нахождения средней скорости на всем пути надо весь пройденный путь разделить на сумму времени, затраченного на каждый участок пути.

Например, если путь состоит из трех участков S₁, S₂, S₃, скорости, на которых были соответственно равны v ₁, v ₂, v ₃, а время прохождения каждого участка соответственно t₁, t₂, t₃, то средняя скорость прохождения всех трех участков вычисляется по формуле:

Если путь поделен на равные части и известны скорости на каждом участке пути, то средняя скорость находится по формуле среднего гармонического. Например, средняя скорость движения на двух участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле:

Средняя скорость движения на четырех участках одинаковой длины:

Если время движения поделено на равные части, то средняя скорость движения находится по формуле среднего арифметического. Например, если половину времени тело двигалось со скоростью , а вторую половину времени – со скоростью , то

Задача 1. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км – со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Занесем все исходные данные в таблицу (расстояния и скорости на каждом участке) и составим выражения для вычисления времени движения на каждом участке:

	Путь	Скорость	Время
1-й участок
2-й участок
3-й участок
Сумма

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя скорость автомобиля:

км/ч).

Ответ: 72 км/ч.

Задача 2. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.

Решение:

Способ 1.

Найдем среднюю скорость по формуле среднего гармонического:

(км/ч).

Способ 2.

Если забыли формулу среднего гармонического, то можно найти среднюю скорость по формуле:

Пусть S км – длина каждого участка трассы (можно принять длину каждого участка за 1).

	Путь	Скорость	Время
1-й участок	S
2-й участок	S
3-й участок	S
Сумма	3S

Получили: весь путь равен 3S км, время, потраченное на весь путь:

средняя скорость (км/ч).

Ответ: 16 км/ч.

Задача 3. Автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 40 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Способ 1.

По формуле среднего гармонического

(км/ч).

Способ 2.

Примем длину половины пути за 1. Тогда весь путь равен 1 + 1 = 2, все время движения: , а средняя скорость

Ответ: 48 км/ч.

Задача 4. Путешественник переплыл океан на яхте со средней скоростью 30 км/ч. Обратно он летел на самолете со скоростью 570 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

По формуле среднего гармонического

(км/ч).

Ответ: 57 км/ч.

Задача 5. Автомобиль двигался половину времени со скоростью 80 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Способ 1.

Найдем среднюю скорость по формуле среднего арифметического:

(км/ч).

Способ 2.

Примем половину времени за 1.

Получили: весь путь равен 180 км, время, потраченное на весь путь равно 2. Значит, средняя скорость:

(км/ч).

Ответ: 90 км/ч.