По условию поставленной задачи, общее число обследованных подшипников N =1000, число исправных N 1=900, число неисправных N 2=100.
Следовательно:
,
.
В соответствии с исходными данными произведём расчёт и составим диагностическую матрицу (табл. 1.2).
Для признака вибрации при исправном состоянии:
= 720/900 = 0,8; 
= 135/900 = 0,15;
= 45/900 = 0,05.
Для признака температуры при исправном состоянии:
= 720/900= 0,8; 
= 135/900 = 0,15;
= 45/900 = 0,05.
Для признака загрязнённости смазки при исправном состоянии:
= 630/900 = 0,7; 
= 270/900 = 0,3.
Для признака вибрации при неисправном состоянии:
= 5/100 = 0,05; 
= 15/100 = 0,15;
= 80/100 = 0,8.
Для признака температуры при неисправном состоянии:
= 10/100 = 0,1; 
= 15/100 = 0,15;
= 75/100 = 0,75.
Для признака загрязнённости смазки при неисправном состоянии:
= 30/100 = 0,3; 
= 70/100 = 0,7.
Таблица 1.2
Диагностическая матрица
| Диагноз Di | Вибрация, м/с2 (k 1) | Температура, оС (k 2) | Масло (k 3) | P (Di) | |||||
| k 11 | k 12 | k 13 | k 21 | k 22 | k 23 | k 31 | k 32 | ||
| <12 | 12…16 | >16 | <70 | 70…90 | >90 | <N | >N | ||
| P (k 11/ Di) | P (k 12/ Di) | P (k 13/ Di) | P (k 21/ Di) | P (k 22/ Di) | P (k 23/ Di) | P (k 31/ Di) | P (k 32/ Di) | ||
| D 1 | 0,8 | 0,15 | 0,05 | 0,8 | 0,15 | 0,05 | 0,7 | 0,3 | 0,9 |
| D 2 | 0,05 | 0,15 | 0,8 | 0,1 | 0,15 | 0,75 | 0,3 | 0,7 | 0,1 |
Рассчитаем вероятность диагноза D 1 (исправное состояние) при выявлении комплекса признаков K* с реализациями k 12, k 22 и k 31:
= 
= 
0,954545.
Таким образом, вероятность исправного состояния при вибрации подшипника 12…16 м/с2, температуре 70…90ºС, загрязнении смазки в пределах нормы, составляет приблизительно 0,954545 (95,45 %).
Определим вероятность диагноза неисправного состояния (D 2) при выявлении комплекса признаков K* с реализациями k 12, k 22 и k 31:
= 
= 
0,0454545
Следовательно, вероятность неисправного состояния при вибрации подшипника 12…16 м/с2, температуре 70…90ºС, загрязнении смазки в пределах нормы, составляет приблизительно 0,04545 (4,545 %).
Очевидно, что этот результат можно было получить и другим путём, учитывая, что исправное и неисправное состояния образуют полную группу событий: P (D 2/ K*)=1 – P (D 1/ K*)=1 – 0,954545 =0,045455.
Уточним априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, по результатам обследования 1001-го подшипника (количество исправных подшипников N 1=901, неисправных N 2=100, всего подшипников N =1001, диагноз D 1; признаки k 12, k 22 и k 31).
Уточнённая априорная вероятность исправного состояния:
Уточнённая априорная вероятность появления неисправного состояния:
Произведём корректировку условных вероятностей разрядов признака согласно формуле:
для первого разряда признака k 11:
для второго разряда признака k 12:
для третьего разряда признака k 13:
для первого разряда признака k 21:
для второго разряда признака k 22:
для третьего разряда признака k 23:
для первого разряда признака k 31:
для второго разряда признака k 32:
По полученным данным составим уточнённую диагностическую матрицу (табл. 1.3)
Таблица 1.3
Уточнённая диагностическая матрица
| Диагноз Di | Вибрация, м/с2 (k 1) | Температура, оС (k 2) | Масло (k 3) | P' (Di) | |||||
| k 11 | k 12 | k 13 | k 21 | k 22 | k 23 | k 31 | k 32 | ||
| <12 | 12…16 | >16 | <70 | 70…90 | >90 | <N | >N | ||
| P' (k 11/ Di) | P' (k 12/ Di) | P' (k 13/ Di) | P' (k 21/ Di) | P' (k 22/ Di) | P' (k 23/ Di) | P' (k 31/ Di) | P' (k 32/ Di) | ||
| D 1 | 0,7991 | 0,151 | 0,0499 | 0,7491 | 0,151 | 0,0999 | 0,7003 | 0,2997 | 0,9001 |
| D 2 | 0,05 | 0,05 | 0,9 | 0,1 | 0,25 | 0,65 | 0,05 | 0,95 | 0,0999 |
Определим вероятность диагноза D 1 (исправное состояние) при выявлении комплекса признаков K* с реализациями k 12, k 22 и k 31:
= 
=0,955
Проверка. Проверим правильность решения исходя из условия, что сумма вероятностей всех возможных диагнозов, а также сумма вероятностей всех возможных реализаций признака равны единице:
,
+ 
+ 
=0.7991+0.151+0,0499=1;
+ 
+ 
= 0,7491+0,151+0,0999 =1
+ 
= 0,7003+0,2997=1
Выводы по работе:
Произведён расчёт апостериорной вероятности исправного состояния подшипника передней подвески автомобилей после выработки его ресурса при вибрации подшипника в диапазоне 12…16 м/с2, температуре70...90ºС, загрязнении смазки в пределах нормы, составляет приблизительно 0,9545 (95,45%).
Уточнены априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, при добавлении к статистическим данным информации о ещё одном обследованном подшипнике, при этом изменились вероятности признаков, при появлении информации о следующих признаках: вибрация в диапазоне 12…16 м/с2 (k 12), температуре 70...90ºС (k 22), загрязнение смазки в пределах нормы (k 31). При таком сочетании признаков вероятность исправного состояния составляет 0,955 (95,5%).
Таким образом, метод Байеса позволяет достаточно просто, надёжно и эффективно рассчитывать вероятности появления того или иного диагноза при определённой совокупности признаков, а также уточнять исходные данные об априорных вероятностях при поступлении новой информации.