1. Решить систему уравнений
где А, В, и С - данные множества, и В ÍА ÍС.
Решение:
Используя тождества задач 1.2 и 1.3 предыдущего раздела, получим:
· А ÇХ =В Û А Ç Х ÍВ и В Í А Ç Х. Следовательно, из второго включения
В Í А, и В ÍХ; из первого включения: Х Í `А È В. Из этих двух
включений: В Í Х Í `А È В.
· А È Х = С Û А È Х Í С и С Í А È Х. Из первого включения следует,
что А Í СХ Í С, из второго включения имеем С Ç `А Í Х. Следовательно,
С Ç `А ÍХ Í С.
· Соединяя двойные включения, полученные из первого и второго уравнений,
получим (`А Ç С) È В Í Х Í С Ç (`А È В). Преобразуя правое
выражение, получим: С\А È В Í Х Í С\А È В.
Следовательно,Х = А\С ÈВ.
2. Решить систему уравнений
где А, В, С - данные множества и В Í А, А ÇС= Æ.
Ответ: Х=С È(А\В).
3. Решить систему уравнений
где А, В, С - данные множества и В Í А Í С.
Ответ: Х = С\В.
4. Решить систему уравнений
При каких А, В и С система имеет решение?
Решение:
Два множества P и Q равны тогда и только тогда, когда пересечение
P Ç `Q =Æ и P È`Q=I.
1. Пусть А È Х = В Ç Х.
Тогда (А È Х) Ç (В ÇХ)= Æ. Преобразуем это выражение обычным образом:
(А È Х) Ç(`В È `Х)= (А Ç `В) È (А Ç `Х) È (`В Ç Х) = Æ.
Объединение множеств может быть пусто тогда и только тогда, когда пусты все множества, участвующие в объединении (по определению объединения). Т.е.
А Ç `В = Æ, Х Ç`В = Æ, А Ç `Х = Æ.
Из А Ç `В = Æ, следует, что А Í В.
Из Х Ç`В = Æ, следует, что то Х Í В.
Из А Ç `Х = Æ следует, что А Í Х.
Из полученных выражений получаем двойное включение А Í Х Í В и А Í В.
2. Пусть А Ç Х = С È Х.
Тогда (А ÇХ) Ç (С È Х) = Æ. Преобразуем это выражение обычным образом:
(А Ç Х) Ç (`С Ç `Х) = Æ. Это тождественное равенство, так как Х Ç `Х = Æ по аксиоме дополнения. Поэтому перепишем преобразование иначе:
(А Ç Х) Ç (С È Х) = Æ. Отсюда
(`А È `Х) Ç (С È Х) = (`А Ç С) È (`А Ç Х) È (С Ç `Х) = Æ.
Из (`А Ç С) = Æ следует, что С Í А.
Из (`А Ç Х) = Æ следует, что Х Í А.
Из (С Ç `Х) = Æ следует, что С Í Х.
Из полученных выражений получаем двойное включение С Í Х Í А и С Í А.
3. Объединяя полученные двойные включения, получим:
А È С Í Х Í А Ç В. Так как С Í А Í В, то А È С = А и А Ç В = А.
Окончательно получаем А Í Х Í А, т.е. Х=А.
4. Решить систему уравнений
При каких А, В, С система имеет решение?
Решение: Используем для решения тот же подход что и в задаче 3.
1. 
Пусть (А Ç Х) Ç (В Ç `Х) = Æ. Отсюда получим: В Ç `А Í Х и В Í Х.
2. 
Пусть (С È Х) Ç (Х\А)= Æ. Отсюда - С Í Х Í `А.
3. Объединяя полученные в пунктах 1 и 2 включения, получим
В È С Í Х Í `А при условии, что В È С Í `А.
5. Решить систему уравнений и определить, при каких А, В, С система имеет решение.
Решение: Воспользуемся приемом задачи 3 настоящего раздела.
1. (А Ç `Х) Ç Х\В = Æ. Отсюда получим А Ç В Í Х и AÍX.
2. Х\А Ç С\Х = Æ. Отсюда - Х Í А È С и XÍA.
Объединяя полученные включения, получим
А Í Х Í А. Отсюда Х = А.